圧力損失方程式 直径が均一な円筒形のパイプで、 流体が満杯の場合、粘性効果による圧力損失Δ p は長さL に比例し、ダルシー・ワイスバッハの式で表すことができます。[ 8 ]
Δ p L = f D ⋅ ρ 2 ⋅ ⟨ v ⟩ 2 D H 、 {\displaystyle {\frac {\Delta p}{L}}=f_{\mathrm {D} }\cdot {\frac {\rho }{2}}\cdot {\frac {{\langle v\rangle }^{2}}{D_{H}}},} ここで、 Δ p / L Pa / m ) は 、
ρ {\displaystyle \rho } 密度 （ kg/ m³ ）D H {\displaystyle D_{H}} 水力直径 （円形断面のパイプの場合はD に A と周囲長Pのパイプの場合は D H = 4A/P ⟨ v ⟩ {\displaystyle \langle v\rangle } 流速は 、単位断面積あたりの 体積流量 Q （m/s）として実験的に測定される。f D {\displaystyle f_{\mathrm {D} }} 摩擦係数 （流れ係数λとも呼ばれる [ 9 ] [ 10 ] 直径D c 層流 の場合、摩擦係数はレイノルズ数 のみに反比例します ( f D = 64 / Re
Δ p L = 128 π ⋅ μ Q D c 4 、 {\displaystyle {\frac {\Delta p}{L}}={\frac {128}{\pi }}\cdot {\frac {\mu Q}{D_{c}^{4}}},} どこ
μ は流体 の動粘度 （Pa·s = N·s/m 2 = kg/(m·s)）ですQ は体積流量 であり、ここでは平均速度の代わりに流量を測定するために使用され、 Q = π / 4 D c 2 < v > 3 /s)で表されます。なお、この層流のダルシー・ワイスバッハ方程式は、ナビエ・ストークス方程式 から解析的に導出されるハーゲン・ポアズイユ方程式 と等価である。
ヘッド損失 Δ h (またはh f 圧力 降下は
Δ p = ρ g Δ h 、 {\displaystyle \Delta p=\rho g\,\Delta h,} どこ：
Δ h [ b ] g =重力 による局所的な加速度(m/s² ) 。パイプの長さあたりの圧力損失（無次元）を示すことは有用である。
S = Δ h L = 1 ρ g ⋅ Δ p L 、 {\displaystyle S={\frac {\Delta h}{L}}={\frac {1}{\rho g}}\cdot {\frac {\Delta p}{L}},} ここで、L はパイプの長さ（m ）です。
したがって、ダルシー・ワイスバッハ方程式は、水頭損失の観点からも記述できます。[ 11 ]
S = f D ⋅ 1 2 g ⋅ ⟨ v ⟩ 2 D 。 {\displaystyle S=f_{\text{D}}\cdot {\frac {1}{2g}}\cdot {\frac {{\langle v\rangle }^{2}}{D}}.}
体積流量の観点から 平均流速と⟨ v ⟩ {\displaystyle \langle v\rangle } Q は
Q = A ⋅ ⟨ v ⟩ 、 {\displaystyle Q=A\cdot \langle v\rangle ,} どこ：
Q 3 /s)A ） 。直径D c
Q = π 4 D c 2 ⟨ v ⟩ 。 {\displaystyle Q={\frac {\pi }{4}}D_{c}^{2}\langle v\rangle .} すると、 Q に関するダルシー・ワイスバッハ方程式は次のようになる。
S = f D ⋅ 8 π 2 g ⋅ Q 2 D c 5 。 {\displaystyle S=f_{\text{D}}\cdot {\frac {8}{\pi ^{2}g}}\cdot {\frac {Q^{2}}{D_{c}^{5}}}.}
パイプまたは開水路 における平均壁面せん断応力 τは 、ダルシー・ワイスバッハ摩擦係数を用いて次のように表される[ 12 ]。
τ = 1 8 f D ρ ⟨ v ⟩ 2 。 {\displaystyle \tau ={\frac {1}{8}}f_{\text{D}}\rho {\langle v\rangle }^{2}.} 壁面せん断応力 のSI単位は パスカル （Pa）です。
ダルシー摩擦係数 図1.滑らかなパイプとさまざまな相対粗度 ε / D 10 < Re < 10 8 レイノルズ数 に対するダルシー摩擦係数。データは Nikuradse (1932, 1933)、Colebrook (1939)、および McKeon (2004) によるものです。摩擦係数f D は D と粗さ高さε ）、流体の特性（動粘度ν [nu]）、および流体の流れの速度⟨ v ⟩などに依存します。 特定の流れ領域では高精度 で測定されており、さまざまな経験的関係式を用いて評価することも、公表されている図表から読み取ることもできます。これらの図表は、LF ムーディーにちなんで ムーディー図 と呼ばれることが多く、そのため、この係数自体が誤ってムーディー摩擦係数 と呼ばれることもあります。また、彼が提案した近似式にちなんで、ブラジウス摩擦係数と呼ばれることもあります。
図1は、さまざまな流体、幅広いレイノルズ数、およびさまざまな粗度高さのパイプについて、実験者によって測定されたf D
層流体制 層流（滑らかな流れ） の場合、ポアズイユの法則 （流体の流れに対する厳密な古典的解から導かれる）の結果として、
f D = 64 R e 、 {\displaystyle f_{\mathrm {D} }={\frac {64}{\mathrm {Re} }},} ここでReは レイノルズ数 である。
R e = ρ μ ⟨ v ⟩ D = ⟨ v ⟩ D ν 、 {\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {\rho }{\mu }}\langle v\rangle D={\frac {\langle v\rangle D}{\nu }},} ここでμ は流体の粘度であり、
ν = μ ρ {\displaystyle \nu ={\frac {\mu }{\rho }}} これは動粘度 として知られています。レイノルズ数のこの式では、特性長さD はパイプの水力直径 とみなされ、満水状態の円筒形パイプの場合、内径に等しくなります。摩擦係数とレイノルズ数の関係を示す図 1 および図 2 では、 Re < 2000 の 領域は層流を示しており、摩擦係数は上記の式でよく表されます。[ c ]
実際、層流領域における摩擦損失は、流速の二乗に比例するのではなく、流速に比例するとより正確に特徴づけられる。つまり、ダルシー・ワイスバッハの式は、層流領域では真に適用できないと考えることができる。
層流では、摩擦損失は、流体の粘性によって流れの中心にある流体から管壁へ運動量が伝達されることによって生じます。流れの中に渦は存在しません。摩擦損失は管の粗さの高さε に影響されないことに注意してください。管壁付近の流速はゼロです。
危機体制 レイノルズ数が2000 < Re < 4000 の範囲では、流れは非定常（時間とともに大きく変化する）であり、管路の各区間によって変化する（「十分に発達していない」）。この流れには渦の初期形成が伴うが、そのメカニズムは十分に解明されていない。
激動の時代 図2.滑らかなパイプとさまざまな相対粗度 ε / D 1000 < Re < 10 8 レイノルズ数が 4000 を超えると、流れは乱流になります。流れに対する抵抗は、ダルシー・ワイスバッハの式に従います。つまり、平均流速の 2 乗に比例します。Re が何桁もの範囲( 4000 < Re < 10 8 ) にわたって、摩擦係数は 1 桁未満 ( 0.006 < f D < 0.06 ) 変化します。乱流領域内では、流れの性質は、管壁が実質的に滑らかな領域と、管壁の粗さの高さが顕著な領域にさらに分けることができます。
滑らかなパイプの状態
管表面が滑らかな場合（図2の「滑らかな管」曲線）、摩擦係数のReに対する変化は、適切なパラメータ調整を施した滑らかな管内の乱流に対するカルマン・プラントル抵抗方程式[ 9 ]によってモデル化できる。
1 f D = 1.930 ログ 10 （ R e f D ） − 0.537。 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}=1.930\log _{10}\left(\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}\right)-0.537.} 1.930 と 0.537 という数値は現象論的なものであり、これらの特定の値はデータにかなりよく適合します。[ 13 ] Re √ f D (「摩擦レイノルズ数」と呼ばれる) は、レイノルズ数と同様に、流れの (無次元) パラメータと考えることができます。Re √ f D の値が固定さ れている場合、摩擦係数も固定されます。
カルマン・プラントル抵抗方程式において、f D は ランベルト W 関数 を用いることにより、Re の解析関数として閉じた形で表すことができる。
1 f D = 1.930 ln （ 10 ） W （ 10 − 0.537 1.930 ln （ 10 ） 1.930 R e ） = 0.838 W （ 0.629 R e ） {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}={\frac {1.930}{\ln(10)}}W\left(10^{\frac {-0.537}{1.930}}{\frac {\ln(10)}{1.930}}\mathrm {Re} \right)=0.838\ W(0.629\ \mathrm {Re} )} この流れの領域では、多数の小さな渦が流体本体から管壁への運動量の伝達を担っています。摩擦レイノルズ数Re √ f D が増加するにつれて、流体速度のプロファイルは漸近的に壁に近づき、ブラジウス境界層 理論でモデル化されているように、より多くの運動量が管壁に伝達されます。
粗いパイプの状態
パイプ表面の粗さの高さε が大きくなると (通常、レイノルズ数が大きい場合)、摩擦係数は滑らかなパイプの曲線から外れ、最終的には漸近値に近づきます (「粗いパイプ」領域)。この領域では、流れに対する抵抗は平均流速の二乗に応じて変化し、レイノルズ数には影響されません。ここで、流れのもう 1 つの無次元パラメータである粗さレイノルズ数 [ 14 ]を使用すると便利です。
R * = 1 8 （ R e f D ） ε D {\displaystyle R_{*}={\frac {1}{\sqrt {8}}}\left(\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}\,\right){\frac {\varepsilon }{D}}} ここで、粗さの高さε はパイプの直径D に比例する。
図3. 粗度関数Bと摩擦レイノルズ数R * 実質 的 に滑らかな管内流の領域です。R * が Bは 一定値に近づきます。これらのデータに適合しようとする現象論的関数、Afzal [ 15 ] [ 16 ] 粗さ関数B をプロットすると分かりやすい。[ 17 ]
B （ R * ） = 1 1.930 f D + ログ （ 1.90 8 ⋅ ε D ） {\displaystyle B(R_{*})={\frac {1}{1.930{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}}+\log \left({\frac {1.90}{\sqrt {8}}}\cdot {\frac {\varepsilon }{D}}\right)} 図3は、ニクラドセ[ 14 ] [ 18 ] [ 19 ] B 対R *を示しています。
この見方では、異なる粗さ比 ε / D R ∗ R ∗
ε = 0R ∗ R ∗ < 5B ( R ∗ ) = R ∗ R ∗ > 100Re 、f D ε / D 5 < R ∗ < 100 の中間範囲は、一方の挙動から他方の挙動への移行を構成します。データは、B ( R ∗ ) = R ∗の線から非常にゆっくりと離れ、 R ∗ = 10Afzal による、滑らかな管の流れから粗い管の流れへの遷移におけるこれらのデータへの適合は、1 < R ∗ < 50 (滑らかな管の状態から粗い管の状態への遷移)に対して適切な挙動を保証するR ∗の指数表現を使用しています。 [ 15 ] [ 20 ] [ 21 ]
1 f D = − 2 ログ （ 2.51 R e f D （ 1 + 0.305 R * exp − 11 R * ） ） 、 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}=-2\log \left({\frac {2.51}{\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}}\left(1+0.305R_{*}\exp {\frac {-11}{R_{*}}}\right)\right),} そして
1 f D = − 1.93 ログ （ 1.90 R e f D （ 1 + 0.34 R * exp − 11 R * ） ） 、 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}=-1.93\log \left({\frac {1.90}{\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}}\left(1+0.34R_{*}\exp {\frac {-11}{R_{*}}}\right)\right),} この関数は、カルマン・プラントル抵抗方程式と共通する項の値を持ち、さらに、R ∗ → ∞
別の類似の粗さに対する摩擦係数は次のようになる。
1 f D = − 2 ログ 10 （ 2.51 R e f D { 1 + 0.305 R * （ 1 − exp − R * 26 ） } ） 、 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}=-2\,\log _{10}\left({\frac {2.51}{\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}}\left\{1+0.305R_{*}\;\left(1-\exp {\frac {-R_{*}}{26}}\right)\right\}\right),} そして
1 f D = − 1.93 ログ 10 （ 1.91 R e f D { 1 + 0.34 R * （ 1 − exp − R * 26 ） } ） 、 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}=-1.93\,\log _{10}\left({\frac {1.91}{\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}}\left\{1+0.34R_{*}\;\left(1-\exp {\frac {-R_{*}}{26}}\right)\right\}\right),} この関数は、カルマン・プラントル抵抗方程式と共通する項の値を持ち、さらにR ∗ → ∞
コールブルック・ホワイトの関係式[ 16 ]
1 f D = − 2.00 ログ （ 2.51 R e f D （ 1 + R * 3.3 ） ） 。 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}=-2.00\log \left({\frac {2.51}{\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}}\left(1+{\frac {R_{*}}{3.3}}\right)\right).} [ d ] この関係は、図 3 のラベル付き曲線で示されているように、R ∗ ∗ が [ 18 ]
パラメータ化から摩擦係数を計算する 乱流 の場合、摩擦係数f D を求める方法としては、ムーディー線図 などの図を用いる方法や、コールブルック-ホワイト方程式 （ムーディー線図の基礎となっている方程式）やスワミー-ジェイン方程式 などの方程式を解く方法がある。コールブルック-ホワイトの関係式は一般的に反復法であるが、スワミー-ジェイン方程式を用いると、円管内の全流に対してf D を [ 11 ]
摩擦損失S 典型的な工学応用では、与えられた、または既知の量のセットがあります。重力加速度g と流体の動粘度ν は既知であり、パイプの直径D とその粗度高さε も同様です。単位長さあたりのヘッド損失S も既知量である場合、摩擦係数f D √ f D
f D = 2 g S D ⟨ v ⟩ {\displaystyle {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}={\frac {\sqrt {2gSD}}{\langle v\rangle }}} これでRe √ f D を次のように表すことができます。
R e f D = 1 ν 2 g S D 3 {\displaystyle \mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}={\frac {1}{\nu }}{\sqrt {2g}}{\sqrt {S}}{\sqrt {D^{3}}}} 粗さレイノルズ数R ∗
R * = ε D ⋅ R e f D ⋅ 1 8 = 1 2 g ν ε S D {\displaystyle {\begin{aligned}R_{*}&={\frac {\varepsilon }{D}}\cdot \mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {8}}}\\&={\frac {1}{2}}{\frac {\sqrt {g}}{\nu }}\varepsilon {\sqrt {S}}{\sqrt {D}}\end{aligned}}} 摩擦係数f D ⟨ v ⟩ 、体積流量Q の Colebrook–White 関係式、またはその他の関数に代入するために必要な 2 つのパラメータが得られました。
ファニング摩擦係数との混同 ダルシー・ワイスバッハ摩擦係数f D はファニング摩擦係数 f の 4 倍大きいため、使用する「摩擦係数」の表や式において、どちらの係数が用いられているかを注意深く確認する必要があります。この 2 つのうち、ダルシー・ワイスバッハ係数f D f は化学工学の分野でより一般的に使用されていますが、表や式の出典に関わらず、正しい係数を特定するように注意する必要があります。
ご了承ください
Δ p = f D ⋅ L D ⋅ ρ ⟨ v ⟩ 2 2 = f ⋅ L D ⋅ 2 ρ ⟨ v ⟩ 2 {\displaystyle \Delta p=f_{\mathrm {D} }\cdot {\frac {L}{D}}\cdot {\frac {\rho {\langle v\rangle }^{2}}{2}}=f\cdot {\frac {L}{D}}\cdot {2\rho {\langle v\rangle }^{2}}} ほとんどの図表には摩擦係数の種類が f = 16 / Re の f であり、層流の式がf D = 64 / Re の f D です
ムーディー図にどの摩擦係数がプロットされているかは、出版社が上記の式を記載していない場合は、目視で判断できます。
レイノルズ数1000における層流の摩擦係数の値を調べてください。 摩擦係数の値が 0.064 の場合、ダルシー摩擦係数はムーディー線図にプロットされます。0.064 のゼロ以外の数字は、層流ダルシー摩擦係数の式f D = 64 / Re 摩擦係数の値が 0.016 の場合、ファニング摩擦係数がムーディー線図にプロットされます。0.016 のゼロ以外の数字は、層流ファニング摩擦係数の式f = 16 / Re の 。 上記の手順は、10の整数乗である任意のレイノルズ数に対して同様です。この手順では1000という値を覚えておく必要はありません。重要なのは、この目的のために10の整数乗が重要であるということです。
次元解析による導出 パイプの両端から離れた場所では Δp / L と体積流量です。流量は 、 流れの濡れ面積 （パイプが流体で満たされている場合はパイプの断 面積 に等しい）で割ることによって、平均流速Vに変換できます。
圧力は単位体積あたりのエネルギーの次元を持つため、2点間の圧力降下は動圧 q に比例しなければなりません。また、単位長さあたりの圧力降下は一定であるため、圧力は2点間のパイプの長さL に比例することもわかっています。この関係を無次元量の比例係数に変換するには、パイプに沿って一定であるパイプの水力直径D で割ればよいのです。したがって、
Δ p ∝ L D q = L D ⋅ ρ 2 ⋅ ⟨ v ⟩ 2 {\displaystyle \Delta p\propto {\frac {L}{D}}q={\frac {L}{D}}\cdot {\frac {\rho }{2}}\cdot {\langle v\rangle }^{2}} 比例係数は、無次元の「ダルシー摩擦係数 」または「流量係数」です。この無次元係数は、π 、レイノルズ数、および（層流領域外では）パイプの相対粗さ（ 粗さの高さと 水力直径 の比）などの幾何学的要因の組み合わせになります。
動圧は、以下の理由から、単位体積あたりの流体の運動エネルギーではないことに注意してください。層流 の場合、すべての流線が パイプの長さに平行であっても、粘性のためパイプの内面における流体の速度はゼロとなり、したがってパイプの中心における速度は、体積流量を濡れ面積で割って得られる平均速度よりも大きくなければなりません。平均運動エネルギーには、常に平均速度を超える二乗平均速度が含まれます。 乱流 の場合、流体はパイプの長さに垂直な方向を含むすべての方向にランダムな速度成分を獲得するため、乱流は単位体積あたりの運動エネルギーには寄与しますが、流体の平均長手方向速度には寄与しません。
実践的な応用 水力工学の 応用においては、パイプ内の体積流量Q （すなわち生産性）と単位長さあたりの水頭損失S （それに伴う動力消費量）が重要な要素となるのが一般的です。実際的な結果として、体積流量Q が一定の場合、水頭損失Sは パイプ径Dの5乗に反比例して 減少します 。例えばANSIスケジュール40のような特定のスケジュールのパイプの直径を2倍にすると、単位長さあたりの必要材料量もほぼ2倍になり、設置コストも2倍になります。一方、水頭損失は32分の1（約97%減）に減少します。このように、一定の体積流量の流体を移動させるのに必要なエネルギーは、設備投資コストのわずかな増加で劇的に削減されます。
利点 ダルシー・ワイスバッハの式は、その精度と普遍的な適用性から、パイプ内の流れの理想的な公式となっています。この式の利点は次のとおりです。[ 1 ]
それは基本原則に基づいている。 寸法的に一貫性がある。 油、ガス、塩水、スラッジなど、あらゆる流体に有効です。 層流領域においては、解析的に導出することができる。 これは、層流と完全に発達した乱流の間の遷移領域で有効です。 摩擦係数の変動については、十分に研究されている。
注記 ↑ ダルシー摩擦係数の値はファニング摩擦係数 の4倍であり、これらと混同してはならない。 [ 2 ] ↑ これは、管路に沿ったピエゾ水頭に関係しています。 ↑ しかし、データは、 Re > 500 の領域から臨界流の開始まで、 理論的なハーゲン・ポアズイユ方程式から最大 50% の系統的なずれを示している ↑ 元々出版された形では、 1 f D = − 2.00 ログ （ 2.51 1 R e f D + 1 3.7 ε D ） {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}=-2.00\log \left(2.51{\frac {1}{\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}}+{\frac {1}{3.7}}{\frac {\varepsilon }{D}}\right)}
参考文献 1 2 Jones, Garr M. 編 (2006).ポンプ場設計 (第 3 版). バーリントン、マサチューセッツ州: Butterworth-Heinemann. p. 3.5. ISBN 978-0-08-094106-6 . OCLC 144609617 . ↑ マニング、フランシス S.、トンプソン、リチャード E. (1991). 石油の油田処理 . 第 1 巻: 天然ガス . ペンウェル ブックス. p. 293. ISBN 0-87814-343-2 。↑ ブラウン 2002、35-36 ページ ↑ ブラウン 2002、36-37 ページ ↑ ブラウン 2002、35-36 ページ ↑ ブラウン 2002、37 ページ ↑ ブラウン 2002、39 ページ ↑ Howell, Glen (1970-02-01). "3.9.2". Aerospace Fluid Component Designers' Handbook . Vol. I. Redondo Beach CA: TRW Systems Group. p. 87、式 3.9.2.1e。 2020年10月20日にオリジナルから アーカイブ済み – Defense Technical Information Center経由。 1 2 Rouse, H. (1946). 流体の初等力学 . John Wiley & Sons. ↑ Incopera, Frank P.; Dewitt, David P. (2002). Fundamentals of Heat and Mass Transfer (5th ed.). John Wiley & Sons. p. 470 paragraph 3. 1 2 Crowe, Clayton T.; Elger, Donald F.; Robertson, John A. (2005). Engineering Fluid Mechanics (8th ed.). John Wiley & Sons. p. 379; Eq. 10:23, 10:24, paragraph 4. 1 f D = 2 ログ （ R e f D ） − 0.8 のために R e > 3000。 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}=2\log \left(\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}\right)-0.8\quad {\text{for }}\mathrm {Re} >3000.} ↑ Chaudhry, MH (2013). 応用水理過渡現象 （第3 版）. Springer. p. 45. ISBN 978-1-4614-8538-4 。↑ McKeon, BJ ; Zagarola, M. V; Smits, AJ (2005). "完全発達管内流の新しい摩擦係数関係" (PDF) . Journal of Fluid Mechanics . 538 . Cambridge University Press: 429– 443. Bibcode : 2005JFM...538..429M . doi : 10.1017/S0022112005005501 . S2CID 15642454 . 2016年 6月25日 取得 . 1 2 Nikuradse, J. (1933). "Strömungsgesetze in rauen Rohren"(PDF) . V. D. I. Forschungsheft . 361 . Berlin: 1– 22. 1 2 Afzal, Noor (2007). "Friction Factor Directly From Transitional Roughness in a Turbulent Pipe Flow". Journal of Fluids Engineering . 129 (10). ASME: 1255– 1267. doi :10.1115/1.2776961. 1 2 Colebrook, C. F. (February 1939). "Turbulent flow in pipes, with particular reference to the transition region between smooth and rough pipe laws". Journal of the Institution of Civil Engineers . London. doi :10.1680/ijoti.1939.14509. ↑ Schlichting, H. (1955). Boundary Layer Theory . McGraw-Hill. 1 2 Shockling, M. A.; Allen, J. J.; Smits, A. J. (2006). "Roughness effects in turbulent pipe flow". Journal of Fluid Mechanics . 564 : 267– 285. Bibcode :2006JFM...564..267S. doi :10.1017/S0022112006001467. S2CID 120958504. ↑ Langelandsvik, L. I.; Kunkel, G. J.; Smits, A. J. (2008). "Flow in a commercial steel pipe"(PDF) . Journal of Fluid Mechanics . 595 . Cambridge University Press: 323– 339. Bibcode :2008JFM...595..323L. doi :10.1017/S0022112007009305. S2CID 59433444. Archived from the original(PDF) on 16 August 2016. Retrieved 25 June 2016 . ↑ Afzal, Noor (2011). "Erratum: Friction factor directly from transitional roughness in a turbulent pipe flow". Journal of Fluids Engineering . 133 (10). ASME: 107001. doi :10.1115/1.4004961. ↑ Afzal, Noor; Seena, Abu; Bushra, A. (2013). "大きなレイノルズ数における機械研磨された粗面パイプ内の乱流：一般的な粗さスケーリング法則" . Journal of Hydro-environment Research . 7 (1). Elsevier: 81– 90. Bibcode : 2013JHER....7...81A . doi : 10.1016/j.jher.2011.08.002 . ↑ Brown, GO (2003). 「管路流抵抗に関するダルシー・ワイスバッハ方程式の歴史」 . Rogers, JR; Fredrich, AJ (編) 『環境および水資源の歴史』 . アメリカ土木学会. pp. 34–43 . doi : 10.1061/40650(2003)4 . ISBN 978-0-7844-0650-2 。18. Afzal, Noor (2013)「乱流における市販鋼管の粗さの影響：普遍的なスケーリング」Canadian Journal of Civil Engineering 40, 188-193.
さらに読む デ・ネヴァーズ（1970）。流体力学 。アディソン・ウェスリー。ISBN 0-201-01497-1 。 Shah, RK; London, AL (1978). 「ダクト内の層流強制対流」. Advances in Heat Transfer 補遺 1. New York: Academic. Rohsenhow, WM; Hartnett, JP; Ganić, EN (1985).熱伝達の基礎ハンドブック （第2 版）. McGraw–Hill Book Company. ISBN 0-07-053554-X 。 Glenn O. Brown (2002). 「パイプの流れ抵抗に関するダルシー・ワイスバッハ方程式の歴史」 . researchgate.net .
外部リンク ダルシー・ワイスバッハ方程式の歴史（ 2011年7月20日にWayback Machine に アーカイブ済み） ダルシー・ワイスバッハ方程式計算機 単相流用のパイプ圧力損失計算機は、 2019年7月13日にWayback Machine に アーカイブされました。 二相流用配管圧力損失計算機。 2019年7月13日にWayback Machine に アーカイブされました。 オープンソースの配管圧力損失計算ツール。 配管およびダクトの圧力損失計算機能を備えたWebアプリケーション ThermoTurb – 熱流および乱流解析のためのウェブアプリケーション
