指数式

組合せ 数学において、指数公式（物理学ではポリマー展開と呼ばれる）は、有限集合上の構造の指数母関数は、連結構造の指数母関数の指数であるということを述べています。指数公式は、ファア・ディ・ブルーノの公式の特殊なケースのべき級数バージョンです。

ここでは、式の組み合わせ使用法の最初の紹介として、 純粋に代数的な記述を示します。

形式の 任意の形式的な冪級数に対して、 が成り立ち 、 指数は集合 の すべての分割を通る。 （積が空で、定義により に等しい場合。） $${\displaystyle f(x)=a_{1}x+{a_{2} \over 2}x^{2}+{a_{3} \over 6}x^{3}+\cdots +{a_{n} \over n!}x^{n}+\cdots \,}$$$${\displaystyle \exp f(x)=e^{f(x)}=\sum _{n=0}^{\infty }{b_{n} \over n!}x^{n},\,}$$$${\displaystyle b_{n}=\sum _{\pi =\left\{\,S_{1},\,\dots ,\,S_{k}\,\right\}}a_{\left|S_{1}\right|}\cdots a_{\left|S_{k}\right|},}$$${\displaystyle \pi}$ ${\displaystyle \{S_{1},\ldots ,S_{k}\}}$${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$${\displaystyle k=0,}$${\displaystyle 1}$

この式は次の形式で書くことができます。 したがって、 は番目の完全ベル多項式です。 $${\displaystyle b_{n}=B_{n}(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}),}$$$${\displaystyle \exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{B_{n}(a_{1},\dots ,a_{n}) \over n!}x^{n},}$$${\displaystyle B_{n}(a_{1},\ldots ,a_{n})}$${\displaystyle n}$

あるいは、指数式は対称群のサイクル指数を使用して次のように書くこともできます。ここで、 は対称群 のサイクル指数多項式を表し、次のように定義されます。および はサイズの のサイクル数を表します。これは、 とベル多項式の一般的な関係から生じます。$${\displaystyle \exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{x^{n} \over n}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }Z_{n}(a_{1},\dots ,a_{n})x^{n},}$$${\displaystyle Z_{n}}$${\displaystyle S_{n}}$$${\displaystyle Z_{n}(x_{1},\cdots ,x_{n})={\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}x_{1}^{\sigma _{1}}\cdots x_{n}^{\sigma _{n}}}$$${\displaystyle \sigma_{j}}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle j\in \{1,\cdots ,n\}}$${\displaystyle Z_{n}}$$${\displaystyle Z_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})={1 \over n!}B_{n}(0!\,x_{1},1!\,x_{2},\dots ,(n-1)!\,x_{n}).}$$

組み合わせ論的応用では、数は- 点集合上のある種の「連結」構造の数を数え、数は(連結されていない可能性のある) 構造の数を数えます。数は、各構造がその自己同型群の逆数によって重み付けされた、点上の構造の同型類の数を数え、数は連結構造の同型類を同様に数えます。 ${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle b_{n}}$${\displaystyle b_{n}/n!}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a_{n}/n!}$

• ${\displaystyle b_{3}=B_{3}(a_{1},a_{2},a_{3})=a_{3}+3a_{2}a_{1}+a_{1}^{3},}$なぜなら、集合 にはサイズ のブロックを 1 つだけ含む分割が 1 つあり、それをサイズ のブロックとサイズ のブロックに分割する の分割が 3 つあり、それをサイズ のブロック 3 つに分割するの分割が 1 つあるからです。これは からも導かれます。なぜなら、順列の巡回表記法 を使用すると、群 をと表記できるからです。${\displaystyle \{1,2,3\}}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle \{1,2,3\}}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \{1,2,3\}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle Z_{3}(a_{1},a_{2},a_{3})={1 \over 6}(2a_{3}+3a_{1}a_{2}+a_{1}^{3})={1 \over 6}B_{3}(a_{1},a_{2},2a_{3})}$ ${\displaystyle S_{3}}$${\displaystyle S_{3}=\{(1)(2)(3),(1)(23),(2)(13),(3)(12),(123),(132)\} }$
• が頂点が与えられた - 点集合であるグラフの数である場合、 は頂点が与えられた - 点集合である連結グラフの数です。${\displaystyle b_{n}=2^{n(n-1)/2}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle n}$
• グラフが特定のプロパティを持つ前述の例には、さまざまなバリエーションがあります。たとえば、サイクルのないグラフをカウントする場合、ツリー(サイクルのない接続されたグラフ)をカウントします。${\displaystyle b_{n}}$${\displaystyle a_{n}}$
• が、頂点ではなくエッジが指定された点集合である有向グラフを数える場合、 はこのエッジ集合を持つ接続された有向グラフを数えます。${\displaystyle b_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a_{n}}$
• 量子場の理論と統計力学では、分割関数 、またはより一般的には相関関数は、ファインマン図上の形式的な和によって与えられます。指数式は、連結された相関関数を用いて、連結されたファインマン図上の和として表すことができることを示しています。${\displaystyle Z}$${\displaystyle \ln(Z)}$

• フレシェ空間の全射 – 全射性の特徴

• スタンレー、リチャード P. (1999)、列挙的組合せ論。第 2 巻、ケンブリッジ高等数学研究、第 62 巻、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-56069-6、MR  1676282、ISBN 978-0-521-78987-5 第5章3ページ