乱流

流体力学において、乱流または乱流とは、圧力と流速が混沌とした変化を示す流体運動のことである。これは、流体が層間に乱れなく平行な層を流れるときに発生する層流とは対照的である。^{[ 1 ]}

乱流は、波、急流、渦巻く嵐の雲、煙突からの煙など、日常的な現象でよく見られ、自然界で発生する流体の流れや工学的応用で発生する流体の流れのほとんどは乱流です。 ^{[ 2 ] [ 3 ]： 2}乱流は、流体の流れの一部で運動エネルギーが過剰になることで発生し、流体の粘性による減衰効果を上回ります。このため、乱流は一般的に低粘性流体で発生します。一般的に、乱流では、さまざまなサイズの不安定な渦が発生し、それらが相互作用するため、摩擦効果による抗力が増加します。

乱流の発生は、流体の流れにおける運動エネルギーと粘性減衰の比である無次元レイノルズ数によって予測できます。しかし、乱流は長い間詳細な物理的解析を拒んできました。乱流内部の相互作用は非常に複雑な現象を生み出します。物理学者のリチャード・ファインマンは、乱流を古典物理学における最も重要な未解決問題と表現しました。^{[ 4 ]}

乱流の強さは、魚類生態学^{[ 5 ]} 、大気汚染^{[ 6 ]} 、降水量^{[ 7 ]}、気候変動^{[ 8 ]など、多くの分野に影響を与えます。}

• タバコから立ち上る煙。最初の数センチメートルは層流である。流れの速度と特徴的な長さスケールが増加するにつれてレイノルズ数が増加するため、煙の噴流は乱流になる。
• ゴルフボール上の流れ。（これは、ゴルフボールが静止していて、その上を空気が流れていると考えると最もよく理解できます。）ゴルフボールが滑らかであれば、球体の前面上の境界層の流れは、通常の条件下では層流になります。しかし、圧力勾配が好ましい（流れの方向に沿って圧力が減少する）状態から好ましくない（流れの方向に沿って圧力が増加する）状態に変化すると、境界層は早期に剥離し、ボールの後ろに大きな低圧領域が形成され、形状抗力が大きくなります。これを防ぐために、表面にディンプル加工を施して境界層を乱し、乱流を促進します。これにより表面摩擦は大きくなりますが、境界層剥離点がさらに後方に移動するため、抗力は小さくなります。
• 飛行機の飛行中に発生する晴天乱気流、および天体観測時の視界不良（大気を通して見える像がぼやけること）。
• 地球の大気循環の大部分。
• 海洋と大気の混合層、そして強い海流。
• 多くの産業機器（パイプ、ダクト、集塵機、ガススクラバー、動的掻き取り式熱交換器など）や機械（例えば、内燃機関やガスタービン）における流れの状態。
• 自動車、飛行機、船舶、潜水艦など、あらゆる種類の乗り物にかかる外部流。
• 恒星大気中の物質の運動。
• ノズルから静止した流体中に噴出するジェット流。流れが外部流体に流れ込むと、ノズルの先端部からせん断層が形成される。これらの層は高速で流れるジェット流を外部流体から分離し、ある臨界レイノルズ数に達すると不安定になり、乱流へと崩壊する。
• 遊泳動物によって生じる生物学的乱流は海洋混合に影響を与える。^{[ 9 ]}
• 雪よけ柵は、風に乱流を発生させることで、雪の大部分を柵の近くに落とすように仕向ける仕組みになっている。
• 水中に浮かぶ橋脚（橋脚）。川の流れが遅いときは、水は橋脚の周りを滑らかに流れます。流れが速くなると、レイノルズ数も高くなります。流れは最初は層流かもしれませんが、すぐに橋脚から剥離して乱流になります。
• 多くの地球物理学的流れ（河川、大気境界層）では、流れの乱流はコヒーレント構造と乱流イベントによって支配されます。乱流イベントは、平均的な流れの乱流よりも多くのエネルギーを含む一連の乱流変動です。^{[ 10 ] [ 11 ]}乱流イベントは、渦や乱流バーストなどのコヒーレントな流れ構造に関連しており、河川における堆積物の浸食、堆積、輸送、および河川や河口、大気における汚染物質の混合と分散に関して重要な役割を果たします。

• 心臓病学の分野では、聴診器は心音や、血流の乱れによって生じる雑音を検出するために使用されます。正常な人では、心音は心臓弁が閉じる際の血流の乱れによって生じます。しかし、病的な原因など、他の理由で血流の乱れが聞こえる場合もあります。例えば、進行した動脈硬化症では、病変によって狭くなった血管で雑音（つまり血流の乱れ）が聞こえることがあります。
• 近年、多孔質媒体における乱流は、非常に議論の多いテーマとなっている。^{[ 12 ]}
• 動物が嗅覚ナビゲーションに用いる戦略とその成功は、匂いのプルームに影響を与える乱流に大きく左右される。^{[ 13 ] [ 14 ]}
• 火山噴火による最も致命的で破壊的な災害の一つである火砕流は、高温で高速で移動するガスと火山物質からなり、乱流を経験する。化学的に多様な成分から構成される火砕流は、温度、密度、流速などの物理的特徴において不均一な分布を示す。これらの違いは、火山斜面を下る際に、流れ自体の中だけでなく、外部環境との間でも乱流混合を促進する。乱流混合は最終的に、火砕流内部の均質性を高める。^{[ 15 ]}

乱流は以下の特徴によって特徴づけられる。

不規則性

乱流は常に非常に不規則です。そのため、乱流の問題は通常、決定論的ではなく統計的に扱われます。乱流はカオス的です。しかし、すべてのカオス的な流れが乱流であるとは限りません。

拡散率

乱流ではエネルギーが容易に供給されるため、流体混合物の均質化（混合）が促進される傾向がある。流れの中で混合が促進され、質量、運動量、エネルギーの輸送速度が増加する特性は「拡散率」と呼ばれる。^{[ 16 ]}

乱流拡散は通常、乱流拡散係数によって記述されます。この乱流拡散係数は、分子拡散率との類推により現象論的に定義されますが、流体自体の特性ではなく、流れの状態に依存するため、真の物理的意味を持ちません。さらに、乱流拡散率の概念は、分子輸送における流束と勾配の関係と同様に、乱流流束と平均変数の勾配との間に構成関係が存在することを前提としています。最良の場合でも、この前提は近似にすぎません。それでもなお、乱流拡散率は乱流の定量的解析において最も単純なアプローチであり、それを計算するための多くのモデルが提案されています。例えば、海洋のような大きな水域では、この係数はリチャードソンの4/3乗則を用いて求めることができ、ランダムウォーク原理によって支配されます。河川や大きな海流では、拡散係数はエルダーの公式の変形によって与えられます。

回転性

乱流はゼロでない渦度を持ち、渦伸長と呼ばれる強力な三次元渦生成メカニズムによって特徴付けられます。流体力学では、乱流は基本的に、角運動量の保存により、伸長方向の渦度成分の増加を伴う伸長を受ける渦です。一方、渦伸長は、乱流エネルギーカスケードが識別可能な構造機能を確立および維持するために依存するコアメカニズムです。^{[ 17 ]}一般に、伸長メカニズムは、流体要素の体積保存により、伸長方向に垂直な方向の渦の細化を意味します。その結果、渦の半径方向の長さスケールが減少し、より大きな流れ構造がより小さな構造に分解されます。このプロセスは、小さなスケールの構造が十分に小さくなり、その運動エネルギーが流体の分子粘性によって熱に変換されるまで続きます。乱流は常に回転し、三次元です。^{[ 17 ]}例えば、大気中のサイクロンは回転していますが、その形状は実質的に二次元であるため渦は発生せず、乱流ではありません。一方、海洋の流れは分散性がありますが、本質的には回転しないため、乱流ではありません。^{[ 17 ]}

放蕩

乱流を維持するには、持続的なエネルギー供給源が必要です。なぜなら、運動エネルギーが粘性せん断応力によって内部エネルギーに変換されるにつれて、乱流は急速に散逸するからです。乱流は、さまざまな長さスケールの渦の形成を引き起こします。乱流運動の運動エネルギーの大部分は、大規模構造に含まれています。エネルギーは、慣性力と本質的に非粘性メカニズムによって、これらの大規模構造からより小さなスケールの構造へと「カスケード」します。このプロセスは継続し、より小さな構造が生成され、渦の階層構造が生まれます。最終的に、このプロセスによって、分子拡散が重要になり、最終的に粘性によるエネルギー散逸が起こるほど小さな構造が生成されます。これが起こるスケールは、コルモゴロフ長さスケールです。このエネルギーカスケードを通して、乱流は、平均流の上に流れ速度の変動と渦のスペクトルを重ね合わせたものとして実現できます。渦は、流れ速度、渦度、圧力のコヒーレントなパターンとして大まかに定義されます。乱流は、広範囲にわたる長さスケールにわたる渦の階層構造全体から構成されていると見なすことができ、その階層構造は、各長さスケール（波数）における流速変動のエネルギーを測定するエネルギー スペクトルによって記述できます。エネルギー カスケードのスケールは一般的に制御不能で、非常に非対称です。しかしながら、これらの長さスケールに基づいて、これらの渦は 3 つのカテゴリに分類できます。

積分時間スケール

ラグランジュ流の積分時間スケールは次のように定義できる。$${\displaystyle T={\frac {1}{\langle u'u'\rangle }}\int _{0}^{\infty }\langle u'u'(\tau )\rangle \,d\tau }$$ここで、u ′は速度変動であり、$\displaystyle \tau }$は測定間の時間差です。^{[ 18 ]}

積分長さスケール

大きな渦は平均流からエネルギーを得るとともに、互いからもエネルギーを得ます。したがって、これらはエネルギー生成渦であり、エネルギーの大部分を含んでいます。これらは大きな流速変動を持ち、周波数は低くなります。積分スケールは高度に異方性であり、正規化された2点流速相関によって定義されます。これらのスケールの最大長は、装置の特性長によって制限されます。たとえば、管流の最大積分長スケールは管径に等しくなります。大気乱流の場合、この長さは数百キロメートルに達することがあります。：積分長スケールは次のように定義できます。$${\displaystyle L={\frac {1}{\langle u'u'\rangle }}\int _{0}^{\infty }\langle u'u'(r)\rangle \,dr}$$ここで、rは 2 つの測定位置間の距離であり、u ′は同じ方向の速度変動である。^{[ 18 ]}

コルモゴロフ長さスケール

スペクトルの中で最小のスケールは、粘性サブレイヤー領域を形成する。この領域では、非線形相互作用によるエネルギー入力と粘性散逸によるエネルギー損失が完全に釣り合っている。小さなスケールは周波数が高く、乱流は局所的に等方的かつ均質になる。

テイラーマイクロスケール

テイラーマイクロスケールは、慣性サブレンジを構成する最大スケールと最小スケールの間の中間スケールです。テイラーマイクロスケールは散逸スケールではなく、エネルギーを最大から最小へと散逸させることなく伝達します。一部の文献では、テイラーマイクロスケールを特性長さスケールとはみなさず、エネルギーカスケードには最大スケールと最小スケールのみが含まれるとしています。後者は慣性サブレンジと粘性サブレイヤーの両方を包含します。しかしながら、テイラーマイクロスケールは波数空間におけるエネルギーと運動量の伝達において支配的な役割を果たすため、「乱流」という用語をより簡潔に表現するためにしばしば用いられます。

流体運動を支配するナビエ・ストークス方程式の特定の解を見つけることは可能であるが、そのような解はすべて、レイノルズ数が大きい場合、有限の摂動に対して不安定である。初期条件と境界条件への敏感な依存性により、流体の流れは時間的にも空間的にも不規則になるため、統計的記述が必要となる。ロシアの数学者アンドレイ・コルモゴロフは、前述のエネルギーカスケードの概念（元々はリチャードソンによって導入されたアイデア）と自己相似性の概念に基づいて、乱流の最初の統計理論を提案した。その結果、コルモゴロフのミクロスケールは彼の名にちなんで名付けられた。現在では自己相似性が破れていることが知られているため、統計的記述は現在修正されている。^{[ 19 ]}

乱流の完全な記述は、物理学における未解決問題の一つである。ある逸話によると、ヴェルナー・ハイゼンベルクは、もし機会があれば神に何を尋ねるかと尋ねられた。彼の答えはこうだった。「神に会ったら、二つの質問をするつもりだ。なぜ相対性理論なのか？そして、なぜ乱流なのか？最初の質問には、きっと答えがあるだろう。」^{[ 20 ] [ a ]}同様の機知に富んだ言葉は、ホレス・ラムが英国科学振興協会でのスピーチで述べたものとされている。「私はもう老人で、死んで天国に行ったら、二つの事柄について啓蒙されることを望んでいる。一つは量子電磁力学、もう一つは流体の乱流運動だ。そして、前者については、私はかなり楽観的だ。」^{[ 21 ] [ 22 ]}

乱流の発生は、ある程度、レイノルズ数によって予測できます。レイノルズ数は、流体速度の違いによる相対的な内部運動を受ける流体内の慣性力と粘性力の比であり、パイプの内部などの境界面の場合、境界層として知られています。同様の効果は、空気中の炎からの高温ガスなどのより高速の流体の流れを導入することによっても生じます。この相対運動は流体摩擦を生じさせ、これが乱流の発生要因となります。この効果に対抗するのが流体の粘性であり、粘性が増加すると、より多くの運動エネルギーが粘性の高い流体によって吸収されるため、乱流は徐々に抑制されます。レイノルズ数は、特定の流れ条件におけるこれら2種類の力の相対的な重要性を定量化し、特定の状況で乱流が発生するタイミングの目安となります。^{[ 23 ]}

乱流の発生を予測するこの能力は、配管システムや航空機の翼などの機器の設計において重要なツールですが、レイノルズ数は流体力学の問題のスケーリングにも使用され、模型航空機とその実物大バージョンなど、2つの異なる流体流れのケース間の動的相似性を決定するために使用されます。このようなスケーリングは必ずしも線形ではなく、両方の状況にレイノルズ数を適用することでスケーリング係数を開発できます。流体の分子粘性の作用により運動エネルギーが大きく吸収される流れの状況は、層流状態を生み出します。このために、無次元量であるレイノルズ数( Re ) がガイドとして使用されます。

層流および乱流の流れの様式に関して：

• 層流は、粘性力が支配的な低レイノルズ数で発生し、滑らかで一定の流体運動を特徴とする。
• 乱流はレイノルズ数が高い場合に発生し、慣性力が支配的であり、混沌とした渦、渦流、その他の流れの不安定性を生み出す傾向がある。

レイノルズ数は次のように定義される^{[ 24 ]}

${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {\rho vL}{\mu }}\,,}$

どこ：

• ρは流体の密度（ SI単位：kg/m³^）です。
• vは、物体に対する流体の特性速度（m/s）です。
• Lは代表的な線形寸法（m）です。
• μは流体の動粘度（Pa・s、N・s/m²^、またはkg/(m・s)）です

無次元レイノルズ数と乱流を直接関連付ける定理はないが、レイノルズ数が 5000 より大きい流れは一般的に（必ずしもではないが）乱流であり、レイノルズ数が低い流れは通常層流のままである。例えば、ポアズイユ流れでは、レイノルズ数が約 2040 の臨界値より大きい場合に初めて乱流が持続する可能性がある。^{[ 25 ]}さらに、乱流は一般的に、レイノルズ数が約 4000 というより大きな値になるまで層流と混在している。

物体のサイズを徐々に大きくしたり、流体の粘度を下げたり、流体の密度を上げたりした場合に、相転移が起こる。

流れが乱流の場合、粒子は追加的な横方向の動きを示し、それによって粒子間のエネルギーと運動量の交換速度が高まり、熱伝達と摩擦係数が増加する。

二次元乱流において、流体中の特定の点を特定し、任意の時点でその点を通過するすべての粒子の実際の流速v = ( v _x , v _y )を測定できると仮定します。すると、実際の流速は平均値を中心に変動することがわかります。

${\displaystyle v_{x}=\underbrace {{\overline {v}}_{x}} _{\text{mean value}}+\underbrace {v'_{x}} _{\text{fluctuation}}\quad {\text{and}}\quad v_{y}={\overline {v}}_{y}+v'_{y}\,;}$

同様に温度 ( T = T + T′ ) と圧力 ( P = P + P′ ) についても同様であり、プライム付きの量は平均値に重ね合わされた変動を表します。流れ変数を平均値と乱流変動に分解するというこの方法は、もともと1895 年にオズボーン・レイノルズによって提案され、流体力学のサブ分野としての乱流の体系的な数学的解析の始まりと考えられています。平均値は力学法則によって決定される予測可能な変数として扱われる一方、乱流変動は確率変数とみなされます。

一定時間における流れに垂直な方向の熱流束と運動量伝達（せん断応力τで表される）は

${\displaystyle {\begin{aligned}q&=\underbrace {v'_{y}\rho c_{P}T'} _{\text{experimental value}}=-k_{\text{turb}}{\frac {\partial {\overline {T}}}{\partial y}}\,;\\\tau &=\underbrace {-\rho {\overline {v'_{y}v'_{x}}}} _{\text{experimental value}}=\mu _{\text{turb}}{\frac {\partial {\overline {v}}_{x}}{\partial y}}\,;\end{aligned}}}$

ここで、c _Pは定圧比熱、ρは流体の密度、μ _turbは乱流粘性係数、k _turbは乱流熱伝導率である。^{[ 3 ]}

リチャードソンの乱流の概念は、乱流は様々な大きさの「渦」から構成されるというものでした。渦の大きさは、渦の特性的な長さスケールを規定し、渦は長さスケールに依存する流速スケールと時間スケール（ターンオーバー時間）によっても特徴づけられます。大きな渦は不安定で、最終的には分裂してより小さな渦を生み出し、最初の大きな渦の運動エネルギーは、そこから生じたより小さな渦に分配されます。これらのより小さな渦も同じプロセスを経て、さらに小さな渦を生み出し、前の渦のエネルギーを受け継ぎます。このようにして、エネルギーは運動の大きなスケールからより小さなスケールへと伝達され、流体の粘性によって運動エネルギーが内部エネルギーに効果的に散逸されるほど十分に小さな長さスケールに達するまで続きます。

1941年の彼の最初の理論では、コルモゴロフは、非常に高いレイノルズ数では、小規模な乱流運動は統計的に等方的である（つまり、優先的な空間方向は識別できない）と仮定した。一般に、流れの大きなスケールは、境界の特定の幾何学的特徴によって決定されるため、等方的ではない（大きなスケールを特徴付けるサイズはLで表される）。コルモゴロフの考えは、リチャードソンのエネルギーカスケードでは、この幾何学的および方向の情報が失われ、スケールが縮小されるため、小規模の統計は普遍的な性質を持ち、レイノルズ数が十分に高い場合、すべての乱流で同じになるということだった。

このように、コルモゴロフは第二の仮説を導入した。すなわち、非常に高いレイノルズ数では、微小スケールの統計は、動粘性率νとエネルギー散逸率εによって普遍的かつ一意に決定されるというものである。これらの2つのパラメータのみで、次元解析によって形成できる一意の長さは、

${\displaystyle \eta =\left({\frac {\nu ^{3}}{\varepsilon }}\right)^{1/4}\,.}$

これは今日ではコルモゴロフ長さスケールとして知られています（コルモゴロフ微小スケールを参照）。

乱流は、エネルギーカスケードが発生するスケールの階層構造によって特徴づけられます。運動エネルギーの散逸はコルモゴロフ長η程度のスケールで発生し、カスケードへのエネルギー入力はL程度の大きなスケールの減衰によって生じます。カスケードの両端におけるこれら2つのスケールは、レイノルズ数が高い場合、数桁も異なることがあります。その間には、大きなスケールのエネルギーを犠牲にして形成された、さまざまなスケール（それぞれ固有の特性長rを持つ）が存在します。これらのスケールはコルモゴロフ長に比べて非常に大きいですが、流れの大きなスケールに比べると非常に小さいです（つまり、η ≪ r ≪ L）。この範囲の渦はコルモゴロフスケールに存在する散逸渦よりもはるかに大きいため、運動エネルギーはこの範囲では実質的に散逸せず、コルモゴロフスケールのオーダーに近づくにつれて粘性効果が重要になるまで、単に小さなスケールに伝達されるだけです。この範囲内では慣性効果は粘性効果よりもはるかに大きく、粘性は内部ダイナミクスに影響を与えないと考えることができます（このため、この範囲は「慣性範囲」と呼ばれます）。

したがって、コルモゴロフの3番目の仮説は、非常に高いレイノルズ数では、 η ≪ r ≪ Lの範囲のスケールの統計は、スケールrとエネルギー散逸率εによって普遍的かつ一意に決定されるというものでした。

運動エネルギーが様々なスケールにわたってどのように分布するかは、乱流の基本的な特徴である。均質な乱流（すなわち、基準座標系の並進に対して統計的に不変な乱流）の場合、これは通常、エネルギー スペクトル関数E ( k )によって行われる。ここで、kは、流れの速度場u ( x )のフーリエ表現におけるいくつかの高調波に対応する波数ベクトルの絶対値である。

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} )=\iiint _{\mathbb {R} ^{3}}{\hat {\mathbf {u} }}(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k\cdot x} }\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {k} \,,}$

ここで、 û ( k )は流速場のフーリエ変換です。したがって、E ( k )  d k はk < | k | < k + d kのすべてのフーリエモードからの運動エネルギーへの寄与を表し、したがって、

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left\langle u_{i}u_{i}\right\rangle =\int _{0}^{\infty }E(k)\,\mathrm {d} k\,,}$

ここで、⁠ 1 / 2 ⁠ ⟨ u _i u _i ⟩は流れの平均乱流運動エネルギーです。長さスケールrに対応する波数kはk = ⁠ 2π / r ⁠です。したがって、次元解析により、第 3 コルモゴロフ仮説に従ってエネルギー スペクトル関数の可能な唯一の形式は次のようになります。

${\displaystyle E(k)=K_{0}\varepsilon ^{\frac {2}{3}}k^{-{\frac {5}{3}}}\,,}$

どこ${\displaystyle K_{0}\approx 1.5}$は普遍定数となるだろう。これは、損失も増加もなくスケール空間を通してエネルギーが輸送されることを記述する、コルモゴロフの1941年の理論^{[ 26 ]}の最も有名な結果の1つである。コルモゴロフの5/3の法則は潮汐水路で最初に観測され^{[ 27 ]}、その後、それを裏付けるかなりの実験的証拠が蓄積されている^{[ 28 ] 。}

慣性領域の外側では、以下の式^{[ 29 ]}が見つかる 。

${\displaystyle E(k)=K_{0}\varepsilon ^{\frac {2}{3}}k^{-{\frac {5}{3}}}\exp \left[-{\frac {3K_{0}}{2}}\left({\frac {\nu ^{3}k^{4}}{\varepsilon }}\right)^{\frac {1}{3}}\right]\,,}$

このような成功にもかかわらず、コルモゴロフ理論は現在改訂作業中である。この理論は、乱流が異なるスケールで統計的に自己相似であることを暗黙のうちに仮定している。これは本質的に、慣性領域において統計量がスケール不変かつ非断続的であることを意味する。乱流速度場を研究する一般的な方法は、流速増分を用いることである。

${\displaystyle \delta \mathbf {u} (r)=\mathbf {u} (\mathbf {x} +\mathbf {r} )-\mathbf {u} (\mathbf {x} )\,;}$

すなわち、ベクトルrで隔てられた点間の流速の差（乱流は等方的であると仮定されているため、流速の増分はrの絶対値のみに依存する）。流速の増分は、統計を計算する際に分離r程度のスケールの影響を強調するため有用である。間欠性のない統計的スケール不変性は、流速の増分のスケーリングが一意のスケーリング指数βで行われるべきであることを意味する。したがって、r が係数λでスケーリングされると、

${\displaystyle \delta \mathbf {u} (\lambda r)}$

統計分布は同じであるべきである

${\displaystyle \lambda ^{\beta }\delta \mathbf {u} (r)\,,}$

βはスケールrに依存しない。この事実とコルモゴロフ1941理論の他の結果から、流れ速度増分の統計モーメント（乱流における構造関数として知られる）は次のようにスケーリングされるはずである。

${\displaystyle {\Big \langle }{\big (}\delta \mathbf {u} (r){\big )}^{n}{\Big \rangle }=C_{n}\langle (\varepsilon r)^{\frac {n}{3}}\rangle \,,}$

ここで、括弧は統計的平均を表し、C _{n は}普遍定数である。

乱流はこの挙動から逸脱するという証拠が数多く存在する。スケーリング指数は理論で予測される⁠ n / 3 ⁠値から逸脱し、構造関数の次数nの非線形関数となる。定数の普遍性も疑問視されている。低次数ではコルモゴロフの⁠ n / 3 ⁠値とのずれは非常に小さく、これが低次統計モーメントに関するコルモゴロフ理論の成功を説明している。特に、エネルギー スペクトルがべき乗則に従う場合、

${\displaystyle E(k)\propto k^{-p}\,,}$

1 < p < 3の場合、2次構造関数もべき乗則に従い、その形式は次のようになる。

${\displaystyle {\Big \langle }{\big (}\delta \mathbf {u} (r){\big )}^{2}{\Big \rangle }\propto r^{p-1}\,,}$

2次構造関数について得られた実験値は、コルモゴロフ理論によって予測される⁠ 2 / 3 ⁠値からわずかにしかずれていないため、 pの値は⁠ 5 / 3 ⁠に非常に近い(差は約 2% ^{[ 30 ]} )。したがって、乱流では一般的に「コルモゴロフ − ⁠ 5 / 3 ⁠スペクトル」が観測される。しかし、高次の構造関数では、コルモゴロフ スケーリングとの差は大きく、統計的自己相似性の破綻が明らかである。この挙動とC _n定数の普遍性の欠如は、乱流の間欠性の現象と関連しており、スケールrで平均化された散逸率の非自明なスケーリング挙動と関連付けることができる。^{[ 31 ]}これはこの分野における重要な研究領域であり、現代の乱流理論の主要な目標は、慣性領域で普遍的なものを理解すること、そしてナビエ・ストークス方程式から、つまり第一原理から間欠性特性を導き出す方法を理解することである。

• 乱流研究センター、乱流に関する科学論文および書籍
• スタンフォード大学乱流研究センター
• サイエンティフィック・アメリカン誌の記事
• 大気乱気流予報
• 国際CFDデータベース iCFDdatabase
• YouTubeで見るパイプ内の乱流
• 流体力学のウェブサイト（動画、質疑応答など掲載）
• ジョンズ・ホプキンス大学の公開データベース（直接数値シミュレーションデータを含む）
• TurBaseは、欧州高性能乱流インフラ（EuHIT）の実験データを含む公開データベースです。