インスタントン

二重井戸ポテンシャル内の単一粒子の運動の量子力学について考えてみよう。${\displaystyle V(x)={1 \over 4}(x^{2}-1)^{2}.}$ 位置エネルギーは、${\displaystyle x=\pm 1}$そしてこれらは古典力学において粒子がこれらのうちの1つに留まる傾向があるため、古典的極小値と呼ばれます。古典力学には2つの最低エネルギー状態があります。

量子力学では、シュレーディンガー方程式を解きます。

$${\displaystyle -{\hbar ^{2} \over 2m}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}\psi (x)+V(x)\psi (x)=E\psi (x),}$$

エネルギー固有状態を特定する。これを行うと、2 つの状態ではなく、唯一の最低エネルギー状態が見つかる。基底状態の波動関数は、古典的な最小値の両方に局在する。${\displaystyle x=\pm 1}$量子干渉または量子トンネル効果により、どちらか一方だけではなく、両方が同時に存在するようになる。

インスタントンは、ユークリッド時間における経路積分定式化の半古典近似において、なぜこのような現象が起こるのかを理解するためのツールです。まず、波動関数自体を近似的に計算するWKB近似を用いてこれを確認し、次に経路積分定式化を用いてインスタントンを導入します。

この確率を計算する一つの方法は、半古典的WKB近似を用いることであり、そのためには、の値が必要となる。${\displaystyle \hbar }$小さい。粒子の時間独立シュレーディンガー方程式は次のようになる。

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}={\frac {2m(V(x)-E)}{\hbar ^{2}}}\psi .}$$

電位が一定であれば、比例定数を除いて解は平面波になります。

$${\displaystyle \psi =\exp(-\mathrm {i} kx)\,}$$

と

$${\displaystyle k={\frac {\sqrt {2m(EV)}}{\hbar }}.}$$

これは、粒子のエネルギーがポテンシャルエネルギーよりも小さい場合、指数関数的に減少する関数が得られることを意味します。関連するトンネル振幅は、

$${\displaystyle e^{-{\frac {1}{\hbar }}\int _{a}^{b}{\sqrt {2m(V(x)-E)}}\,dx},}$$

ここで、aとbはトンネル軌道の始点と終点である。

あるいは、経路積分を用いることでインスタントン解釈が可能となり、この方法でも同じ結果が得られる。経路積分定式化では、遷移振幅は次のように表される。

$${\displaystyle K(a,b;t)=\langle x=a|e^{-{\frac {i\mathbb {H} t}{\hbar }}}|x=b\rangle =\int d[x(t)]e^{\frac {iS[x(t)]}{\hbar }}.}$$

ウィック回転（解析接続）のプロセスに従ってユークリッド時空へ（${\displaystyle it\rightarrow \tau }$) すると

$${\displaystyle K_{E}(a,b;\tau )=\langle x=a|e^{-{\frac {\mathbb {H} \tau }{\hbar }}}|x=b\rangle =\int d[x(\tau )]e^{-{\frac {S_{E}[x(\tau )]}{\hbar }}},}$$

ユークリッド作用を用いて

$$${\displaystyle S_{E}=\int _{\tau _{a}}^{\tau _{b}}\left({\frac {1}{2}}m\left({\frac {dx}{d\tau }}\right)^{2}+V(x)\right)d\tau .}$$$

位置エネルギーの符号が変化する${\displaystyle V(x)\rightarrow -V(x)}$ウィック回転の下では、最小値は最大値に変化するので、${\displaystyle V(x)}$最大エネルギーを示す2つの「丘」が存在する。

次に、ユークリッド作用の局所最小値について考えてみましょう。${\displaystyle S_{E}}$二重井戸の可能性を秘めている${\displaystyle V(x)={1 \over 4}(x^{2}-1)^{2}}$、そして私たちは${\displaystyle m=1}$計算を簡略化するためだけに。${\displaystyle x=\pm 1}$接続されているので、${\displaystyle a=-1}$そして${\displaystyle b=1}$。 のために${\displaystyle a=-1}$そして${\displaystyle b=1}$ユークリッド作用を次のように書き換えることができます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}S_{E}&=\int _{\tau _{a}}^{\tau _{b}}d\tau {1 \over 2}\left({dx \over d\tau }-{\sqrt {2V(x)}}\right)^{2}+{\sqrt {2}}\int _{\tau _{a}}^{\tau _{b}}d\tau {dx \over d\tau }{\sqrt {V(x)}}\\&=\int _{\tau _{a}}^{\tau _{b}}d\tau {1 \over 2}\left({dx \over d\tau }-{\sqrt {2V(x)}}\right)^{2}+\int _{-1}^{1}dx{1 \over {\sqrt {2}}}(1-x^{2}).\\&\geq {2{\sqrt {2}} \over 3}.\end{aligned}}}$$

上記の不等式は、次の解によって飽和されます。${\displaystyle {dx \over d\tau }={\sqrt {2V(x)}}}$条件付き${\displaystyle x(\tau _{a})=-1}$そして${\displaystyle x(\tau _{b})=1}$このような解決策は存在し、解決策は次のような単純な形をとります。${\displaystyle \tau _{a}=-\infty }$そして${\displaystyle \tau _{b}=\infty }$インスタントン解の明示的な式は次のように与えられる。

$${\displaystyle x(\tau )=\tanh \left({1 \over {\sqrt {2}}}(\tau -\tau _{0})\right).}$$

ここ${\displaystyle \tau _{0}}$は任意の定数です。この解は古典的な真空からジャンプするため${\displaystyle x=-1}$別の古典的な真空へ${\displaystyle x=1}$瞬時に周囲に${\displaystyle \tau =\tau _{0}}$それはインスタントンと呼ばれる。

二重井戸ポテンシャルを持つシュレーディンガー方程式の固有エネルギーの明示的な公式は、Müller–Kirsten ^{[ 7 ]}によって、シュレーディンガー方程式に適用された摂動法（境界条件付き）と経路積分（および WKB ）からの明示的な導出の両方によって与えられています。結果は次のとおりです。シュレーディンガー方程式とポテンシャルのパラメータを次の式で定義します。

$${\displaystyle {\frac {d^{2}y(z)}{dz^{2}}}+[E-V(z)]y(z)=0,}$$

そして

$${\displaystyle V(z)=-{\frac {1}{4}}z^{2}h^{4}+{\frac {1}{2}}c^{2}z^{4},\;\;\;c^{2}>0,\;h^{4}>0,}$$

の固有値${\displaystyle q_{0}=1,3,5,...}$判明した内容は以下のとおりです。

$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\pm }(q_{0},h^{2})=&-{\frac {h^{8}}{2^{5}c^{2}}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}q_{0}h^{2}-{\frac {c^{2}(3q_{0}^{2}+1)}{2h^{4}}}-{\frac {{\sqrt {2}}c^{4}q_{0}}{8h^{10}}}(17q_{0}^{2}+19)+O({\frac {1}{h^{16}}})\\&\mp {\frac {2^{q_{0}+1}h^{2}(h^{6}/2c^{2})^{q_{0}/2}}{{\sqrt {\pi }}2^{q_{0}/4}[(q_{0}-1)/2]!}}e^{-h^{6}/6{\sqrt {2}}c^{2}}.\end{aligned}}}$$

明らかにこれらの固有値は漸近的に（${\displaystyle h^{2}\rightarrow \infty }$ポテンシャルの調和成分の結果として、予想通り退化する。

数学的に明確に定義されたユークリッド経路積分から得られた結果は、ウィック回転によって元に戻すことができ、(潜在的に発散する)ミンコフスキー経路積分を適切に処理することによって得られるのと同じ物理的結果を与える。この例からわかるように、粒子が古典的に禁止されている領域(${\displaystyle V(x)}$ミンコフスキー経路積分を用いた場合、古典的に許容される領域（ポテンシャルを持つ）をトンネルする遷移確率を計算することに相当する。${\displaystyle -V(X)}$）は、ユークリッド経路積分において（図解的に言えば、ユークリッド図では、この遷移は、逆立ちしている二重井戸ポテンシャルの一方の丘からもう一方の丘へ転がる粒子に対応する）。このユークリッド運動方程式の古典的な解は、しばしば「キンク解」と呼ばれ、インスタントンの例である。この例では、二重井戸ポテンシャルの 2 つの「真空」（つまり基底状態）が、問題のユークリッド化されたバージョンでは丘に変わる。

したがって、（ユークリッド空間、すなわち虚時間を持つ）（1 + 1）次元場理論のインスタントン場解（最初の量子化された量子力学的記述）は、物理的な（1次元空間 + 実時間）ミンコフスキー系の2つの真空（基底状態-高次の状態は周期的なインスタントンを必要とする）間のトンネル効果として解釈することができる。二重井戸ポテンシャルの場合、  

$${\displaystyle V(\phi )={\frac {m^{4}}{2g^{2}}}\left(1-{\frac {g^{2}\phi ^{2}}{m^{2}}}\right)^{2}}$$

インスタントン、すなわち解

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\phi }{d\tau ^{2}}}=V'(\phi ),}$$

（つまりエネルギーで）${\displaystyle E_{cl}=0}$）、 は

$${\displaystyle \phi _{c}(\tau )={\frac {m}{g}}\tanh \left[m(\tau -\tau _{0})\right],}$$

どこ${\displaystyle \tau =it}$はユークリッド時間です。

ミンコフスキー記述の2つの真空のうちの1つだけに関する素朴な摂動理論では、この非摂動トンネル効果は決して示されず、この量子力学系の真空構造の図が劇的に変化してしまうことに注意してください。実際、素朴な摂動理論は境界条件によって補完される必要があり、上記の明示的な式や、コサインポテンシャル（マチュー関数を参照）やその他の周期ポテンシャル（例えば、ラメ関数や球状波動関数を参照）などの他のポテンシャルに対する同様の計算から明らかなように、シュレーディンガー方程式を使うか経路積分を使うかに関係なく、これらの境界条件が非摂動効果をもたらします。^{[ 8 ]}

したがって、摂動論的アプローチでは物理系の真空構造を完全に記述できない可能性がある。これは、例えば「アクシオン」の理論において、非自明なQCD真空効果（インスタントンなど）がペッチェイ・クイン対称性を明示的に損ない、質量のない南部・ゴールドストーンボソンを質量のある擬似南部・ゴールドストーンボソンに変換するなど、重要な結果をもたらす可能性がある。

一次元場理論または量子力学では、ユークリッド時間と有限のユークリッド作用を持つ古典的（ニュートン型）運動方程式の解である場の配置を「インスタントン」と定義します。ソリトン理論の文脈では、対応する解はキンクとして知られています。古典粒子の振る舞いとの類似性から、このような配置または解は、他の配置と同様に、擬似粒子または擬似古典配置として総称されます。「インスタントン」（キンク）解には、「反インスタントン」（反キンク）と呼ばれる別の解が伴い、インスタントンと反インスタントンはそれぞれ+1と-1の「位相電荷」によって区別されますが、同じユークリッド作用を持ちます。

「周期インスタントン」はインスタントンの一般化です。^{[ 9 ]}明示的な形式では、周期関数であるヤコビ楕円関数（実質的には三角関数の一般化）で表現できます。無限周期の極限では、これらの周期インスタントン（しばしば「バウンス」、「バブル」などと呼ばれる）はインスタントンに還元されます。

これらの擬古典的配置の安定性は、理論を定義するラグランジアンを擬粒子配置の周りで展開し、その周りの小さなゆらぎの方程式を調べることによって調べることができます。すべてのバージョンの4次ポテンシャル（二重井戸、逆二重井戸）および周期的（マシュー）ポテンシャルについて、これらの方程式はラメ方程式であることが発見されました（ラメ関数を参照）。^{[ 10 ]}これらの方程式の固有値は既知であり、不安定な場合には経路積分を評価することによって崩壊率を計算することができます。^{[ 9 ]}

反応速度論の文脈では、周期的なインスタントンを用いて化学反応における原子のトンネル効果の速度を計算する。化学反応の進行は、高次元ポテンシャルエネルギー面（PES）上の擬似粒子の動きとして記述できる。熱速度定数${\displaystyle k}$すると、自由エネルギーの虚数部と関連付けることができる。${\displaystyle F}$[ ^{11 ]​}

$${\displaystyle k(\beta )=-{\frac {2}{\hbar }}{\text{Im}}\mathrm {F} ={\frac {2}{\beta \hbar }}{\text{Im}}\ {\text{ln}}(Z_{k})\approx {\frac {2}{\hbar \beta }}{\frac {{\text{Im}}Z_{k}}{{\text{Re}}Z_{k}}},\ \ {\text{Re}}Z_{k}\gg {\text{Im}}Z_{k}}$$

それによって${\displaystyle Z_{k}}$は、位置表示におけるボルツマン演算子のトレースを取ることによって計算される、正準分配関数です。

$${\displaystyle Z_{k}={\text{Tr}}(e^{-\beta {\hat {H}}})=\int d\mathbf {x} \left\langle \mathbf {x} \left|e^{-\beta {\hat {H}}}\right|\mathbf {x} \right\rangle }$$

ウィック回転を使用し、ユークリッド時間を特定して${\displaystyle \hbar \beta =1/(k_{b}T)}$質量加重座標における分配関数の経路積分表現が得られる。^{[ 12 ]}

$${\displaystyle Z_{k}=\oint {\mathcal {D}}\mathbf {x} (\tau )e^{-S_{E}[\mathbf {x} (\tau )]/\hbar },\ \ \ S_{E}=\int _{0}^{\beta \hbar }\left({\frac {\dot {\mathbf {x} }}{2}}^{2}+V(\mathbf {x} (\tau ))\right)d\tau }$$

経路積分は、古典解とその周辺の二次ゆらぎからの寄与のみを考慮した最急降下法による積分によって近似される。これにより、質量加重座標における速度定数式が得られる。

$${\displaystyle k(\beta )={\frac {2}{\beta \hbar }}\left({\frac {{\text{det}}\left[-{\frac {\partial ^{2}}{\partial \tau ^{2}}}+\mathbf {V} ''(x_{\text{RS}}(\tau ))\right]}{{\text{det}}\left[-{\frac {\partial ^{2}}{\partial \tau ^{2}}}+\mathbf {V} ''(x_{\text{Inst}}(\tau ))\right]}}\right)^{\frac {1}{2}}{\exp \left({\frac {-S_{E}[x_{\text{inst}}(\tau )+S_{E}[x_{\text{RS}}(\tau )]}{\hbar }}\right)}}$$

どこ${\displaystyle \mathbf {x} _{\text{Inst}}}$は周期的なインスタントンであり、${\displaystyle \mathbf {x} _{\text{RS}}}$これは、反応物の状態配置を表す、静止した擬似粒子の自明な解である。

二重井戸ポテンシャルについては、逆二重井戸ポテンシャルの固有値を導出できる。ただし、この場合、固有値は複素数である。式によってパラメータを定義すると、

$${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+[E-V(z)]y(z)=0,\;\;\;V(z)={\frac {1}{4}}h^{4}z^{2}-{\frac {1}{2}}c^{2}z^{4},}$$

ミュラー・キルステンによって与えられた固有値は、${\displaystyle q_{0}=1,3,5,...,}$

$${\displaystyle E={\frac {1}{2}}q_{0}h^{2}-{\frac {3c^{2}}{4h^{4}}}(q_{0}^{2}+1)-{\frac {q_{0}c^{4}}{h^{10}}}(4q_{0}^{2}+29)+O({\frac {1}{h^{16}}})\pm i{\frac {2^{q_{0}}h^{2}(h^{6}/2c^{2})^{q_{0}/2}}{(2\pi )^{1/2}[(q_{0}-1)/2]!}}e^{-h^{6}/6c^{2}}.}$$

この式の虚数部は、ベンダーとウーのよく知られた結果と一致する。^{[ 13 ]}彼らの記法では、${\displaystyle \hbar =1,q_{0}=2K+1,h^{6}/2c^{2}=\epsilon .}$