双曲線関数

数学において、双曲線関数は通常の三角関数の類似物ですが、円ではなく双曲線を用いて定義されます。点(cos t、 sin t )が単位半径の円を形成するのと同様に、点(cosh t、 sinh t )は単位双曲線の右半分を形成します。また、 sin( t )とcos( t )の導関数がcos( t )と–sin( t )であるのと同様に、 sinh( t )とcosh( t )の導関数はcosh( t )とsinh( t )です。

双曲線関数は、双曲幾何学における平行角を表すために用いられます。また、特殊相対性理論では、ローレンツブーストを双曲線回転として表現するために用いられます。さらに、多くの線形微分方程式（懸垂線を定義する方程式など）、三次方程式、およびデカルト座標系におけるラプラス方程式の解にも現れます。ラプラス方程式は、電磁気学、熱伝達、流体力学など、物理学の多くの分野で重要です。

基本的な双曲線関数は次のとおりです。^{[ 1 ]}

• 双曲線正弦" sinh " ( / ˈ s ɪ ŋ、ˈ s ɪ n tʃ、ˈ ʃ aɪ n / )、^{[ 2 ]}
• 双曲線コサイン「cosh 」（/ ˈkɒʃ , ˈkoʊʃ /）^、[ ^{3 ]}​​​

そこから派生するもの: ^{[ 4 ]}

• 双曲線正接" tanh " ( / ˈ t æ ŋ , ˈ t æ n tʃ , ˈ θ æ n / ), ^{[ 5 ]}
• 双曲線コタンジェント" coth " ( / ˈ k ɒ θ , ˈ k oʊ θ / )、^{[ 6 ] [ 7 ]}
• 双曲割線" sech " ( / ˈ s ɛ tʃ , ˈ ʃ ɛ k / )、^{[ 8 ]}
• 双曲線余割" csch " または " cosech " ( / ˈ k oʊ s ɛ tʃ , ˈ k oʊ ʃ ɛ k / ^{[ 3 ]} )

導出された三角関数に対応する。

逆双曲線関数は次のとおりです。

• 逆双曲線正弦「arsinh」（「sinh ⁻¹」、「asinh」または「arcsinh」とも表記される）^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}
• 逆双曲線コサイン「arcosh」（「cosh ⁻¹」、「acosh」、または「arccosh」とも表記される）
• 逆双曲線正接「artanh」（「tanh ⁻¹」、「atanh」、または「arctanh」とも表記される）
• 逆双曲線コタンジェント" arcoth " (「coth ⁻¹」、「acoth」、または「arccoth」とも表記される)
• 逆双曲線正割「arsech」（「sech ⁻¹」、「asech」、または「arcsech」とも表記される）
• 逆双曲線コセカント" arcsch " (「arcosech」、「csch ⁻¹」、「cosech ⁻¹」、「acsch」、「acosech」、または「arccsch」または「arccosech」とも表記される)

双曲線関数は、双曲線角と呼ばれる引数を取ります。双曲線角の大きさは、xy = 1となる双曲線扇形の面積です。双曲線関数は、この扇形を覆う直角三角形の2辺を用いて定義することができます。

複素解析において、双曲線関数は、通常の正弦関数と余弦関数を虚角に適用することによって生じます。双曲線正弦関数と双曲線余弦関数は整関数です。したがって、他の双曲線関数は複素平面全体で有理型関数となります。

リンデマン・ワイエルシュトラスの定理によれば、双曲線関数は引数の非ゼロ代数値に対して超越値を持つ。 ^{[ 12 ]}

双曲三角法の問題の最初の計算は、1566年頃にメルカトル図法を発表したゲラルドゥス・メルカトルによるものとされている。双曲関数を含む超越方程式の解を表にまとめる必要がある。^{[ 13 ]}

円の扇形と双曲線の扇形との類似性を最初に示唆したのは、1687年の著書『プリンキピア・マテマティカ』のアイザック・ニュートンである。^{[ 14 ]}

ロジャー・コーツは、虚数単位を用いて三角関数を修正することを提案した。${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$長球から扁平球を得る。 ^{[ 14 ]}

双曲線関数は、1757 年にVincenzo Riccatiによって正式に導入されました。^{[ 14 ] [ 13 ] [ 15 ]} Riccati は、円関数を指すのにSc.とCc. ( sinus/cosinus circulare ) を、双曲線関数を指すのにSh.とCh. ( sinus/cosinus hyperbolico ) を使用しました。 ^{[ 14 ]} 1759 年という早い時期に、Daviet de Foncenex は虚数単位を使用して三角関数と双曲線関数の互換性を示し、de Moivre の公式を双曲線関数に拡張しました。^{[ 15 ] [ 14 ]}

1760年代、ヨハン・ハインリヒ・ランベルトは関数の使用を体系化し、さまざまな出版物で指数表現を提供した。^{[ 14 ] [ 15 ]}ランベルトは、用語と関数の名前についてはリッカティに帰属させたが、略語を今日使用されているものに変更した。^{[ 15 ] [ 16 ]}

双曲線角uの場合、双曲線関数 sinh と cosh は指数関数e ^uで定義できます。^{[ 1 ] [ 4 ]}図では ${\displaystyle A=(e^{-u},e^{u}),\ B=(e^{u},\ e^{-u}),\ OA+OB=OC}$。

指数関数の定義

• 双曲線正弦：指数関数の奇数部分、つまり、$${\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}.}$$
• 双曲線コサイン：指数関数の偶数部分、つまり、$${\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}.}$$

• 双曲線正接：$${\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}。$$
• 双曲線コタンジェント: x ≠ 0の場合、$${\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}。$$
• 双曲線正割線：$${\displaystyle \operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}+1}}.}$$
• 双曲線コセカント: x ≠ 0の場合、$${\displaystyle \operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}-1}}.}$$

双曲線関数は多くの恒等式を満たし、それらはすべて三角関数の恒等式と形式が似ています。実際、オズボーンの規則^{[ 20 ]}（ジョージ・オズボーンにちなんで名付けられた）は、任意の三角関数の恒等式（4次のsinhまたは暗黙のsinhを除く）を双曲線関数に変換できると述べています。${\displaystyle \theta }$、${\displaystyle 2\theta }$、${\displaystyle 3\theta }$または${\displaystyle \theta }$そして${\displaystyle \varphi }$双曲型恒等式に変換するには、以下の方法を用いる。

1. それを正弦と余弦の積分べき乗で完全に展開すると、
2. サインをsinhに、コサインをcoshに変更し、
3. 2 つの sin の積を含むすべての項の符号を反転します。

奇関数と偶関数： $${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(-x)&=-\sinh x\\\cosh(-x)&=\cosh x\\\tanh(-x)&=-\tanh x\\\coth(-x)&=-\coth x\\\operatorname {sech} (-x)&=\operatorname {sech} x\\\operatorname {csch} (-x)&=-\operatorname {csch} x\end{aligned}}}$$

逆数：

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsech} x&=\operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{x}}\right)\\\operatorname {arcsch} x&=\operatorname {arsinh} \left({\frac {1}{x}}\right)\\\operatorname {arcoth} x&=\operatorname {artanh} \left({\frac {1}{x}}\right)\end{aligned}}}$$

オイラーの公式に類似している：

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh x+\sinh x&=e^{x}\\\cosh x-\sinh x&=e^{-x}\end{aligned}}}$$

ピタゴラスの三角関数の恒等式に類似している：

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x&=1\\1-\tanh ^{2}x&=\operatorname {sech} ^{2}x\\\coth ^{2}x-1&=\operatorname {csch} ^{2}x\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\\\operatorname {arcosh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)&&x\geq 1\\\operatorname {artanh} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)&&|x|<1\\\operatorname {arcoth} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right)&&|x|>1\\\operatorname {arsech} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)=\ln \left({\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\right)&&0<x\leq 1\\\operatorname {arcsch} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}\right)&&x\neq 0\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sinh x&=\cosh x\\{\frac {d}{dx}}\cosh x&=\sinh x\\{\frac {d}{dx}}\tanh x&=1-\tanh ^{2}x=\operatorname {sech} ^{2}x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}\\{\frac {d}{dx}}\coth x&=1-\coth ^{2}x=-\operatorname {csch} ^{2}x=-{\frac {1}{\sinh ^{2}x}}&&x\neq 0\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {sech} x&=-\tanh x\operatorname {sech} x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {csch} x&=-\coth x\operatorname {csch} x&&x\neq 0\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}&&1<x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x&={\frac {1}{1-x^{2}}}&&|x|<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x&={\frac {1}{1-x^{2}}}&&1<|x|\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x&=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}&&0<x<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x&=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}&&x\neq 0\end{aligned}}}$$

sinhとcoshの各関数は、その2 階微分に等しく、すなわち次のようになります。 $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\sinh x=\sinh x}$$$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\cosh x=\cosh x\,.}$$

この性質を持つ関数はすべてsinhとcoshの線形結合であり、特に指数関数がこれに該当します。${\displaystyle e^{x}}$そして${\displaystyle e^{-x}}$[ ^{22 ]​}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int \sinh(ax)\,dx&=a^{-1}\cosh(ax)+C\\\int \cosh(ax)\,dx&=a^{-1}\sinh(ax)+C\\\int \tanh(ax)\,dx&=a^{-1}\ln(\cosh(ax))+C\\\int \coth(ax)\,dx&=a^{-1}\ln \left|\sinh(ax)\right|+C\\\int \operatorname {sech} (ax)\,dx&=a^{-1}\arctan(\sinh(ax))+C\\\int \operatorname {csch} (ax)\,dx&=a^{-1}\ln \left|\tanh \left({\frac {ax}{2}}\right)\right|+C=a^{-1}\ln \left|\coth \left(ax\right)-\operatorname {csch} \left(ax\right)\right|+C=-a^{-1}\operatorname {arcoth} \left(\cosh \left(ax\right)\right)+C\end{aligned}}}$$

以下の積分は、双曲線置換法を用いて証明できる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\int {{\frac {1}{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}\,du}&=\operatorname {arsinh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {{\frac {1}{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}\,du}&=\operatorname {sgn} {u}\operatorname {arcosh} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\\\int {\frac {1}{a^{2}-u^{2}}}\,du&=a^{-1}\operatorname {artanh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C&&u^{2}<a^{2}\\\int {\frac {1}{a^{2}-u^{2}}}\,du&=a^{-1}\operatorname {arcoth} \left({\frac {u}{a}}\right)+C&&u^{2}>a^{2}\\\int {{\frac {1}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}}\,du}&=-a^{-1}\operatorname {arsech} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\\\int {{\frac {1}{u{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}}\,du}&=-a^{-1}\operatorname {arcsch} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\end{aligned}}}$$

ここで、Cは積分定数である。

上記の関数のゼロにおけるテイラー級数（または、関数がゼロで定義されていない場合はローラン級数）を明示的に表現することが可能です。

$${\displaystyle \sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$$ この級数は、xのすべての複素数値に対して収束します。関数sinh xは奇関数であるため、そのテイラー級数にはxの奇数指数のみが現れます。

$${\displaystyle \cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}$$ この級数は、xのすべての複素数値に対して収束します。関数cosh x は偶関数であるため、そのテイラー級数にはxの偶数指数のみが現れます。

sinh 級数と cosh 級数の和は、指数関数の無限級数表現です。

以下の級数には、級数が収束し、その和が関数に等しくなる 収束領域の部分集合の説明が続きます。$${\displaystyle {\begin{aligned}\tanh x&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\\coth x&=x^{-1}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad 0<\left|x\right|<\pi \\\operatorname {sech} x&=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\qquad \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\\operatorname {csch} x&=x^{-1}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad 0<\left|x\right|<\pi \end{aligned}}}$$

どこ：

• ${\displaystyle B_{n}}$n番目のベルヌーイ数
• ${\displaystyle E_{n}}$n番目のオイラー数は

以下の展開は複素平面全体で有効です。

${\displaystyle \sinh x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3+x^{2}-{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{4\cdot 5+x^{2}-{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{6\cdot 7+x^{2}-\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle \cosh x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{(n-1/2)^{2}\pi ^{2}}}\right)={\cfrac {1}{1-{\cfrac {x^{2}}{1\cdot 2+x^{2}-{\cfrac {1\cdot 2x^{2}}{3\cdot 4+x^{2}-{\cfrac {3\cdot 4x^{2}}{5\cdot 6+x^{2}-\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle \tanh x={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {3}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {5}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {7}{x}}+\ddots }}}}}}}}}$

双曲線関数は、円関数を超えた三角法の拡張を表しています。どちらのタイプも、円角または双曲線角のいずれかの引数に依存します。

半径r、角度u (ラジアン)の扇形の面積はr²u / 2なので、 r = √2^のとき面積はuと等しくなります。図では、このような円は双曲線xy = 1に(1, 1)で接しています。黄色の扇形は面積と角度の大きさを表しています。同様に、黄色と赤色の領域を合わせると、双曲線の角度の大きさに対応する面積を持つ双曲線扇形が描かれます。

角度を定義する半直線上に斜辺を持つ2つの直角三角形の2辺の長さは、円関数と双曲線関数の√2倍である。

双曲線角は、円角が回転に対して不変であるのと同様に、スクイーズ写像に対して不変な尺度である。^{[ 23 ]}

グーデルマン関数は、複素数を用いずに、円関数と双曲線関数の間に直接的な関係を与える。

関数のグラフ${\displaystyle a\cosh(x/a)}$⁠は懸垂線であり、均一な重力の下で2つの固定点間に自由に垂れ下がった均一な柔軟な鎖によって形成される曲線です。

指数関数を偶数部分と奇数部分に分解すると、次の恒等式が得られます。 $${\displaystyle e^{x}=\cosh x+\sinh x,}$$ そして $${\displaystyle e^{-x}=\cosh x-\sinh x.}$$オイラーの公式 と組み合わせると$${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$$ これにより $${\displaystyle e^{x+iy}=(\cosh x+\sinh x)(\cos y+i\sin y)}$$一般的な複素指数関数 について。

さらに、 $${\displaystyle e^{x}={\sqrt {\frac {1+\tanh x}{1-\tanh x}}}={\frac {1+\tanh {\frac {x}{2}}}{1-\tanh {\frac {x}{2}}}}}$$

指数関数は任意の複素引数に対して定義できるため、双曲線関数の定義も複素引数に拡張できます。関数sinh zとcosh zは正則関数となります。

通常の三角関数との関係は、複素数に関する オイラーの公式によって与えられる。$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x\\e^{-ix}&=\cos x-i\sin x\end{aligned}}}$$ それで： $${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)=\cos x\\\sinh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)=i\sin x\\\tanh(ix)&=i\tan x\\\cosh(x+iy)&=\cosh(x)\cos(y)+i\sinh(x)\sin(y)\\\sinh(x+iy)&=\sinh(x)\cos(y)+i\cosh(x)\sin(y)\\\tanh(x+iy)&={\frac {\tanh(x)+i\tan(y)}{1+i\tanh(x)\tan(y)}}\\\cosh x&=\cos(ix)\\\sinh x&=-i\sin(ix)\\\tanh x&=-i\tan(ix)\end{aligned}}}$$

したがって、双曲線関数は虚数成分に関して周期的であり、周期は${\displaystyle 2\pi i}$（${\displaystyle \pi i}$双曲線正接と双曲線余接の場合）。

• e（数学定数）
• sinh に基づく等内円定理
• 双曲関数
• 双曲線的成長
• 逆双曲線関数
• 双曲線関数の積分の一覧
• ポワンソの螺旋
• シグモイド関数
• 三角関数

• 「双曲線関数」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• PlanetMath上の双曲線関数
• GonioLab：単位円、三角関数、双曲線関数の可視化（Java Web Start）
• 双曲線関数のウェブベース計算機