双曲線関数の積分の一覧JJapedia 編集部|更新日: 2026年7月29日以下は、双曲線関数の積分（原始関数）の一覧です。積分関数の完全な一覧については、「積分の一覧」を参照してください。すべての式において、定数aはゼロでないと仮定され、C は積分定数 を表す。双曲線正弦関数のみを含む積分∫シン1xdx=11コッシュ1x+C{\displaystyle \int \sinh ax\,dx={\frac {1}{a}}\cosh ax+C}∫シン21xdx=141シン21x−x2+C{\displaystyle \int \sinh ^{2}ax\,dx={\frac {1}{4a}}\sinh 2ax-{\frac {x}{2}}+C}∫シンn1xdx={11n（シンn−11x）（コッシュ1x）−n−1n∫シンn−21xdx、n>011（n+1）（シンn+11x）（コッシュ1x）−n+2n+1∫シンn+21xdx、n<0、n≠−1{\displaystyle \int \sinh ^{n}ax\,dx={\begin{cases}{\frac {1}{an}}(\sinh ^{n-1}ax)(\cosh ax)-{\frac {n-1}{n}}\displaystyle \int \sinh ^{n-2}ax\,dx,&n>0\\{\frac {1}{a(n+1)}}(\sinh ^{n+1}ax)(\cosh ax)-{\frac {n+2}{n+1}}\displaystyle \int \sinh ^{n+2}ax\,dx,&n<0,n\neq -1\end{cases}}}∫dxシン1x=11ln|タン1x2|+C=11ln|コッシュ1x−1シン1x|+C=11ln|シン1xコッシュ1x+1|+C=121ln|コッシュ1x−1コッシュ1x+1|+C{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{\sinh ax}}&={\frac {1}{a}}\ln \left|\tanh {\frac {ax}{2}}\right|+C\\&={\frac {1}{a}}\ln \left|{\frac {\cosh ax-1}{\sinh ax}}\right|+C\\&={\frac {1}{a}}\ln \left|{\frac {\sinh ax}{\cosh ax+1}}\right|+C\\&={\frac {1}{2a}}\ln \left|{\frac {\cosh ax-1}{\cosh ax+1}}\right|+C\end{aligned}}}∫dxシンn1x=−コッシュ1x1（n−1）シンn−11x−n−2n−1∫dxシンn−21x（のために n≠1）{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sinh ^{n}ax}}=-{\frac {\cosh ax}{a(n-1)\sinh ^{n-1}ax}}-{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\sinh ^{n-2}ax}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq) 1{\mbox{)}}}∫xシン1xdx=11xコッシュ1x−112シン1x+C{\displaystyle \int x\sinh ax\,dx={\frac {1}{a}}x\cosh ax-{\frac {1}{a^{2}}}\sinh ax+C}∫（シン1x）（シンbx）dx=112−b2（1（シンbx）（コッシュ1x）−b（コッシュbx）（シン1x））+C（のために 12≠b2）{\displaystyle \int (\sinh ax)(\sinh bx)\,dx={\frac {1}{a^{2}-b^{2}}}{\big (}a(\sinh bx)(\cosh ax)-b(\cosh bx)(\sinh ax){\big )}+C\qquad {\mbox{(for }}a^{2}\neq b^{2}{\mbox{)}}}双曲線余弦関数のみを含む積分∫コッシュ1xdx=11シン1x+C{\displaystyle \int \cosh ax\,dx={\frac {1}{a}}\sinh ax+C}∫コッシュ21xdx=141シン21x+x2+C{\displaystyle \int \cosh ^{2}ax\,dx={\frac {1}{4a}}\sinh 2ax+{\frac {x}{2}}+C}∫コッシュn1xdx={11n（シン1x）（コッシュn−11x）+n−1n∫コッシュn−21xdx、n>0−11（n+1）（シン1x）（コッシュn+11x）+n+2n+1∫コッシュn+21xdx、n<0、n≠−1{\displaystyle \int \cosh ^{n}ax\,dx={\begin{cases}{\frac {1}{an}}(\sinh ax)(\cosh ^{n-1}ax)+{\frac {n-1}{n}}\displaystyle \int \cosh ^{n-2}ax\,dx,&n>0\\-{\frac {1}{a(n+1)}}(\sinh ax)(\cosh ^{n+1}ax)+{\frac {n+2}{n+1}}\displaystyle \int \cosh ^{n+2}ax\,dx,&n<0,n\neq -1\end{cases}}}∫dxコッシュ1x=21アークタンe1x+C=11アークタン（シン1x）+C{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{\cosh ax}}&={\frac {2}{a}}\arctan e^{ax}+C\\&={\frac {1}{a}}\arctan(\sinh ax)+C\end{aligned}}}∫dxコッシュn1x=シン1x1（n−1）コッシュn−11x+n−2n−1∫dxコッシュn−21x（のために n≠1）{\displaystyle \int {\frac {dx}{\cosh ^{n}ax}}={\frac {\sinh ax}{a(n-1)\cosh ^{n-1}ax}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\cosh ^{n-2}ax}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}}∫xコッシュ1xdx=11xシン1x−112コッシュ1x+C{\displaystyle \int x\cosh ax\,dx={\frac {1}{a}}x\sinh ax-{\frac {1}{a^{2}}}\cosh ax+C}∫x2コッシュ1xdx=−2xコッシュ1x12+（x21+213）シン1x+C{\displaystyle \int x^{2}\cosh ax\,dx=-{\frac {2x\cosh ax}{a^{2}}}+\left({\frac {x^{2}}{a}}+{\frac {2}{a^{3}}}\right)\sinh ax+C}∫（コッシュ1x）（コッシュbx）dx=112−b2（1（シン1x）（コッシュbx）−b（シンbx）（コッシュ1x））+C（のために 12≠b2）{\displaystyle \int (\cosh ax)(\cosh bx)\,dx={\frac {1}{a^{2}-b^{2}}}{\big (}a(\sinh ax)(\cosh bx)-b(\sinh bx)(\cosh ax){\big )}+C\qquad {\mbox{(for }}a^{2}\neq b^{2}{\mbox{)}}}∫dx1+コッシュ（1x）=2111+e−1x+C{\displaystyle \int {\frac {dx}{1+\cosh(ax)}}={\frac {2}{a}}{\frac {1}{1+e^{-ax}}}+C\quad }または21{\displaystyle {\frac {2}{a}}}ロジスティック関数その他の積分双曲線正接関数、双曲線余接関数、双曲線正割関数、双曲線余割関数の積分∫タンxdx=lnコッシュx+C{\displaystyle \int \tanh x\,dx=\ln \cosh x+C}∫タン21xdx=x−タン1x1+C{\displaystyle \int \tanh ^{2}ax\,dx=x-{\frac {\tanh ax}{a}}+C}∫タンn1xdx=−11（n−1）タンn−11x+∫タンn−21xdx（のために n≠1）{\displaystyle \int \tanh ^{n}ax\,dx=-{\frac {1}{a(n-1)}}\tanh ^{n-1}ax+\int \tanh ^{n-2}ax\,dx\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}}∫布xdx=ln|シンx|+C、 のために x≠0{\displaystyle \int \coth x\,dx=\ln |\sinh x|+C,{\text{ for }}x\neq 0}∫布n1xdx=−11（n−1）布n−11x+∫布n−21xdx（のために n≠1）{\displaystyle \int \coth ^{n}ax\,dx=-{\frac {1}{a(n-1)}}\coth ^{n-1}ax+\int \coth ^{n-2}ax\,dx\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}}∫セックxdx=アークタン（シンx）+C{\displaystyle \int \operatorname {sech} \,x\,dx=\arctan \,(\sinh x)+C}∫cschxdx=ln|タンx2|+C=ln|布x−cschx|+C、 のために x≠0{\displaystyle \int \operatorname {csch} \,x\,dx=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C=\ln \left|\coth {x}-\operatorname {csch} {x}\right|+C,{\text{ for }}x\neq 0}双曲線正弦関数および双曲線余弦関数を含む積分∫（コッシュ1x）（シンbx）dx=112−b2（1（シン1x）（シンbx）−b（コッシュ1x）（コッシュbx））+C（のために 12≠b2）{\displaystyle \int (\cosh ax)(\sinh bx)\,dx={\frac {1}{a^{2}-b^{2}}}{\big (}a(\sinh ax)(\sinh bx)-b(\cosh ax)(\cosh bx){\big )}+C\qquad {\mbox{(for }}a^{2}\neq b^{2}{\mbox{)}}}∫コッシュn1xシンm1xdx=コッシュn−11x1（n−m）シンm−11x+n−1n−m∫コッシュn−21xシンm1xdx（のために m≠n）=−コッシュn+11x1（m−1）シンm−11x+n−m+2m−1∫コッシュn1xシンm−21xdx（のために m≠1）=−コッシュn−11x1（m−1）シンm−11x+n−1m−1∫コッシュn−21xシンm−21xdx（のために m≠1）{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\cosh ^{n}ax}{\sinh ^{m}ax}}\,dx&={\frac {\cosh ^{n-1}ax}{a(n-m)\sinh ^{m-1}ax}}+{\frac {n-1}{n-m}}\int {\frac {\cosh ^{n-2}ax}{\sinh ^{m}ax}}\,dx\qquad {\mbox{(for }}m\neq n{\mbox{)}}\\&=-{\frac {\cosh ^{n+1}ax}{a(m-1)\sinh ^{m-1}ax}}+{\frac {n-m+2}{m-1}}\int {\frac {\cosh ^{n}ax}{\sinh ^{m-2}ax}}\,dx\qquad {\mbox{(for }}m\neq 1{\mbox{)}}\\&=-{\frac {\cosh ^{n-1}ax}{a(m-1)\sinh ^{m-1}ax}}+{\frac {n-1}{m-1}}\int {\frac {\cosh ^{n-2}ax}{\sinh ^{m-2}ax}}\,dx\qquad {\mbox{(for }}m\neq 1{\mbox{)}}\end{aligned}}}∫シンm1xコッシュn1xdx=シンm−11x1（m−n）コッシュn−11x+m−1n−m∫シンm−21xコッシュn1xdx（のために m≠n）=シンm+11x1（n−1）コッシュn−11x+m−n+2n−1∫シンm1xコッシュn−21xdx（のために n≠1）=−シンm−11x1（n−1）コッシュn−11x+m−1n−1∫シンm−21xコッシュn−21xdx（のために n≠1）{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\sinh ^{m}ax}{\cosh ^{n}ax}}\,dx&={\frac {\sinh ^{m-1}ax}{a(m-n)\cosh ^{n-1}ax}}+{\frac {m-1}{n-m}}\int {\frac {\sinh ^{m-2}ax}{\cosh ^{n}ax}}\,dx\qquad {\mbox{(for }}m\neq n{\mbox{)}}\\&={\frac {\sinh ^{m+1}ax}{a(n-1)\cosh ^{n-1}ax}}+{\frac {m-n+2}{n-1}}\int {\frac {\sinh ^{m}ax}{\cosh ^{n-2}ax}}\,dx\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\\&=-{\frac {\sinh ^{m-1}ax}{a(n-1)\cosh ^{n-1}ax}}+{\frac {m-1}{n-1}}\int {\frac {\sinh ^{m-2}ax}{\cosh ^{n-2}ax}}\,dx\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\end{aligned}}}双曲線関数と三角関数を含む積分∫シン（1x+b）罪（cx+d）dx=112+c2コッシュ（1x+b）罪（cx+d）−c12+c2シン（1x+b）コス（cx+d）+C{\displaystyle \int \sinh(ax+b)\sin(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{2}+c^{2}}}\cosh(ax+b)\sin(cx+d)-{\frac {c}{a^{2}+c^{2}}}\sinh(ax+b)\cos(cx+d)+C}∫シン（1x+b）コス（cx+d）dx=112+c2コッシュ（1x+b）コス（cx+d）+c12+c2シン（1x+b）罪（cx+d）+C{\displaystyle \int \sinh(ax+b)\cos(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{2}+c^{2}}}\cosh(ax+b)\cos(cx+d)+{\frac {c}{a^{2}+c^{2}}}\sinh(ax+b)\sin(cx+d)+C}∫コッシュ（1x+b）罪（cx+d）dx=112+c2シン（1x+b）罪（cx+d）−c12+c2コッシュ（1x+b）コス（cx+d）+C{\displaystyle \int \cosh(ax+b)\sin(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{2}+c^{2}}}\sinh(ax+b)\sin(cx+d)-{\frac {c}{a^{2}+c^{2}}}\cosh(ax+b)\cos(cx+d)+C}∫コッシュ（1x+b）コス（cx+d）dx=112+c2シン（1x+b）コス（cx+d）+c12+c2コッシュ（1x+b）罪（cx+d）+C{\displaystyle \int \cosh(ax+b)\cos(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{2}+c^{2}}}\sinh(ax+b)\cos(cx+d)+{\frac {c}{a^{2}+c^{2}}}\cosh(ax+b)\sin(cx+d)+C}カテゴリー：指数関数積分の一覧非表示のカテゴリ:短い説明付きの記事短い説明はWikidataとは異なります2026年6月以降に情報源が欠落している記事出典のないすべての記事関連するトピック関連以下は、双曲線関数の関連積分関連原始関連「積分の一覧」を
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