指数関数

指数関数は、その導関数と等しく、変数の値が0 のときに値1をとる唯一の微分可能な関数です。

この定義は一意性証明と存在証明を必要とするが、指数関数の主要な性質を容易に導出することを可能にする。

指数関数は自然対数の逆関数です。つまり、

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(\exp x)&=x\\\exp(\ln y)&=y\end{aligned}}}$

すべての実数に対して${\displaystyle x}$そしてすべての正の実数${\displaystyle y.}$

指数関数はべき級数の和である^{[ 4 ] [ 5 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\exp(x)&=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}},\end{aligned}}}$$

どこ${\displaystyle n!}$これはnの階乗（最初のn 個の正の整数の積）です。この級数はすべての n に対して絶対収束します。${\displaystyle x}$比率テストにより、指数関数はすべての に対して定義されていることがわかります。${\displaystyle x}$⁠ 、そしてどこでもマクローリン級数の和である。

指数関数は関数方程式を満たす$${\displaystyle \exp(x+y)=\exp(x)\cdot \exp(y)}$$ そして、加法単位元0を乗法単位元1に写像する。他の連続関数も同様の等式を満たす。${\displaystyle f(x)=b^{x}}$彼らの議論を任意の底で指数関数化する${\displaystyle b}$^{[ 6 ]}これらの関数の中で、指数関数は、 0における導関数が1 であるという性質によって特徴付けられます。^{[ 7 ]}

指数関数は、整数n が無限大に近づくときの極限です。 ^{[ 8 ] [ 5 ]}$${\displaystyle \exp(x)=\lim _{n\to +\infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$$

逆数：関数方程式は以下を意味する${\displaystyle e^{x}e^{-x}=1}$したがって​​${\displaystyle e^{x}\neq 0}$⁠全ての⁠${\displaystyle x}$そして​ $$\displaystyle {\frac {1}{e^{x}}}=e^{-x}.}$$

ポジティブさ：${\displaystyle e^{x}>0}$⁠すべての実数に対して⁠${\displaystyle x}$これは中間値の定理から導かれる。なぜなら、${\displaystyle e^{0}=1}$そして、もし誰かが${\displaystyle e^{x}<0}$一部の人にとって${\displaystyle x}$⁠、そこには⁠${\displaystyle y}$⁠そのため⁠${\displaystyle e^{y}=0}$⁠間⁠${\displaystyle 0}$そして​​${\displaystyle x}$指数関数は導関数と等しいので、これは指数関数が単調増加であることを意味します。

指数関数の正の実数底への拡張： b を正の実数とする。指数関数と自然対数は互いに逆関数であるため、次のようになる。${\displaystyle b=\exp(\ln b).}$nが整数の 場合、対数の関数方程式は以下を意味する。$${\displaystyle b^{n}=\exp(\ln b^{n})=\exp(n\ln b).}$$ 右端の式はnが任意の実数である場合に定義されるため、これによって定義が可能になる。${\displaystyle b^{x}}$⁠すべての正の実数bとすべての実数xに対して： $${\displaystyle b^{x}=\exp(x\ln b).}$$ 特に、bがオイラー数である場合${\displaystyle e=\exp(1),}$1つは${\displaystyle \ln e=1}$（逆関数）したがって$${\displaystyle e^{x}=\exp(x).}$$これは、指数関数を表す2つの表記法が等価であることを示している。

最後の特徴付けは、関数が指数関数であるかどうかを直接実験的に検証できるため、経験科学において重要である。

指数関数的成長または指数関数的減衰（変数の変化が変数の値に比例する）は、指数関数を用いてモデル化されます。例としては、マルサスの破局につながる無制限の人口増加、連続複利、放射性崩壊などが挙げられます。

モデリング関数が次の形式である場合${\displaystyle x\mapsto ae^{kx},}$または、同等に、微分方程式の解である。${\displaystyle y'=ky}$定数​​${\displaystyle k}$文脈によっては、崩壊定数、崩壊定数^{[ 11 ]} 、速度定数^{[ 12 ]}、または変換定数^{[ 13 ]}と呼ばれる。

上記の性質の等価性を証明するには、以下の手順で進めることができる。

最初の2つの特徴付けは同等である。なぜなら、もし${\displaystyle b=e^{k}}$そして​​${\displaystyle k=\ln b}$⁠、1つは $${\displaystyle e^{kx}=(e^{k})^{x}=b^{x}.}$$ 指数関数の基本的な性質（微分と関数方程式）は、直ちに3番目で最後の条件を導き出す。

3番目の条件が満たされると仮定し、 とします。${\displaystyle k}$⁠は定数値である${\displaystyle f'(x)/f(x).}$以来${\textstyle {\frac {\partial e^{kx}}{\partial x}}=ke^{kx},}$導出の商の法則は、 $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\,{\frac {f(x)}{e^{kx}}}=0,}$$したがって、一定の値が存在する${\displaystyle a}$⁠そのため${\displaystyle f(x)=ae^{kx}.}$

最後の条件が満たされた場合、${\textstyle \varphi (d)=f(x+d)/f(x),}$これは とは無関係です${\displaystyle x}$使用​​${\displaystyle \varphi (0)=1}$⁠、 $${\displaystyle {\frac {f(x+d)-f(x)}{d}}=f(x)\,{\frac {\varphi (d)-\varphi (0)}{d}}.}$$ 極限を取るとき⁠${\displaystyle d}$がゼロに近づくと、3番目の条件が満たされることがわかります。${\displaystyle k=\varphi '(0)}$したがって、​${\displaystyle f(x)=ae^{kx}}$一部の人にとって${\displaystyle a,}$そして​​${\displaystyle \varphi (d)=e^{kd}.}$副産物として、次のようなことが起こる 。$${\displaystyle \left({\frac {f(x+d)}{f(x)}}\right)^{1/d}=e^{k}}$$ 両方から独立している${\displaystyle x}$そして​​${\displaystyle d}$⁠ .

複素指数関数と複素三角関数は、オイラーの公式によって密接に関連している。 $${\displaystyle e^{it}=\cos(t)+i\sin(t).}$$

この式は、複素指数関数を実部と虚部に分解するものです。 $${\displaystyle e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}=e^{x}\,\cos y+ie^{x}\,\sin y.}$$

三角関数は複素指数関数を用いて表すことができる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos x&={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\\\sin x&={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\\\tan x&=i\,{\frac {1-e^{2ix}}{1+e^{2ix}}}\end{aligned}}}$$

これらの式では、${\displaystyle x,y,t}$これらは通常、実変数として解釈されますが、変数を複素変数として解釈した場合でも、これらの式は有効です。これらの式は、複素変数の三角関数を定義するために使用できます。 ^{[ 16 ]}

• 指数関数の実部、虚部、絶対値の3Dプロット
• 
  z = Re( e ^{x + iy} )
• 
  z = Im( e ^{x + iy} )
• 
  z = | e ^{x + iy} |

複素指数関数を4つの実変数を含む関数として考えると、次のようになります。 $${\displaystyle v+iw=\exp(x+iy)}$$ 指数関数のグラフは、4次元空間を湾曲する2次元曲面である。

色分けされた部分から始めます${\displaystyle xy}$領域において、以下はグラフを2次元または3次元に様々な方法で投影した図です。

• 複素指数関数のグラフ
• 0 : 緑 {\displaystyle x>0:\;{\text{緑}}} x < 0 : 赤 {\displaystyle x<0:\;{\text{赤}}} y > 0 : 黄 {\displaystyle y>0:\;{\text{黄}}} y < 0 : 青 {\displaystyle y<0:\;{\text{青}}}" id="mwAgo">
  チェッカーボードの凡例： ${\displaystyle x>0:\;{\text{green}}}$${\displaystyle x<0:\;{\text{red}}}$${\displaystyle y>0:\;{\text{yellow}}}$${\displaystyle y<0:\;{\text{blue}}}$
• 
  距離複素平面（V/W）への投影図。次の透視図と比較してください。
• 
  投影先${\displaystyle x}$、${\displaystyle v}$、 そして${\displaystyle w}$寸法により、広がった角状または漏斗状の形状（2次元の透視図としてイメージ）が生成される。
• 
  投影先${\displaystyle y}$、${\displaystyle v}$、 そして${\displaystyle w}$寸法により螺旋形状を生成（${\displaystyle y}$範囲を±2πまで拡張（これも2次元透視図として表示）

2番目の図は、定義域の複素平面が値域の複素平面にどのようにマッピングされるかを示しています。

• ゼロは1にマッピングされる
• 本当の${\displaystyle x}$軸は正の実数にマッピングされます${\displaystyle v}$軸
• 想像上の${\displaystyle y}$軸は一定の角速度で単位円の周りを回転する
• 負の実部を持つ値は単位円の内側にマッピングされます
• 実部が正の値を持つ値は、単位円の外側にマッピングされます。
• 定数実部を持つ値は、ゼロを中心とする円にマッピングされる。
• 虚数部が定数である値は、ゼロから伸びる光線にマッピングされる。

3番目と4番目の画像は、2番目の画像のグラフが、2番目の画像には表示されていない他の2つの次元のうちの1つにどのように拡張されているかを示しています。

3番目の画像は、実数に沿って拡張されたグラフを示しています。${\displaystyle x}$軸。これは、グラフが回転面であることを示しています。${\displaystyle x}$実数指数関数のグラフの軸は、角または漏斗状の形を形成する。

4番目の画像は、仮想線に沿って拡張されたグラフを示しています。${\displaystyle y}$軸。これは、正と負のグラフの表面を示しています。${\displaystyle y}$値は実際には負の実数に沿って一致しない${\displaystyle v}$軸ではなく、代わりに螺旋状の表面を形成する${\displaystyle y}$軸。${\displaystyle y}$値は± 2πまで拡張されており、この画像は虚数部における2π周期性もよりよく表している。${\displaystyle y}$価値。

指数関数は連分数を用いて計算することもできます。

e ^xの連分数は、オイラーの恒等式によって得られます。 $${\displaystyle e^{x}=1+{\cfrac {x}{1-{\cfrac {x}{x+2-{\cfrac {2x}{x+3-{\cfrac {3x}{x+4-\ddots }}}}}}}}}$$

オイラーによる次のe ^zの一般化された連分数^{[ 21 ]} はより速く収束します: ^{[ 22 ]}$${\displaystyle e^{z}=1+{\cfrac {2z}{2-z+{\cfrac {z^{2}}{6+{\cfrac {z^{2}}{10+{\cfrac {z^{2}}{14+\ddots }}}}}}}}}$$

または、 置換z = x / yを適用することによって：$${\displaystyle e^{\frac {x}{y}}=1+{\cfrac {2x}{2y-x+{\cfrac {x^{2}}{6y+{\cfrac {x^{2}}{10y+{\cfrac {x^{2}}{14y+\ddots }}}}}}}}}$$z = 2 の特殊なケース： $${\displaystyle e^{2}=1+{\cfrac {4}{0+{\cfrac {2^{2}}{6+{\cfrac {2^{2}}{10+{\cfrac {2^{2}}{14+\ddots }}}}}}}}=7+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{11+\ddots }}}}}}}}}$$

この式は、 z > 2の場合にも収束しますが、収束速度は遅くなります。例えば： $${\displaystyle e^{3}=1+{\cfrac {6}{-1+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{10+{\cfrac {3^{2}}{14+\ddots }}}}}}}}=13+{\cfrac {54}{7+{\cfrac {9}{14+{\cfrac {9}{18+{\cfrac {9}{22+\ddots }}}}}}}}}$$

指数関数のべき級数による定義は、正方行列（この場合、関数は行列指数関数と呼ばれる）およびより一般的には任意の単位元を持つバナッハ代数Bにおいて意味を持ちます。この設定では、e ⁰ = 1であり、Bの任意のxに対して、e ^xは逆行列e ^{− x}と可逆です。xy = yxの場合、e ^{x + y} = e ^x e ^yとなりますが、この恒等式は、 xとyが可換でない場合は成り立たないことがあります。

いくつかの別の定義でも同じ関数が得られます。たとえば、e ^{x は}次のように定義できます。 $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$$

またはe ^{x は}f _x (1)と定義できます。ここでf _x  : R → Bは微分方程式⁠ df _x / dt ⁠ ( t ) = x f _x ( t )の解であり、初期条件はf _x (0) = 1です。したがって、Rのすべてのtに対してf _x ( t ) = e ^txとなります。

リー群Gとその関連リー代数が与えられた場合${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$指数マップはマップです${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to G}$同様の性質を満たしている。実際、Rは乗法に関するすべての正の実数のリー群のリー代数であるため、実数引数に対する通常の指数関数は、リー代数の状況の特殊な場合である。同様に、可逆なn × n行列のリー群GL( n , R )は、すべてのn × n行列の空間であるM( n , R )をリー代数として持つため、正方行列の指数関数は、リー代数の指数写像の特殊な場合である。

アイデンティティ${\displaystyle \exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)}$可換でないリー代数要素xとyの場合、この方法は失敗する可能性があります。ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式は、必要な補正項を提供します。