逆双曲線関数

数学において、逆双曲関数は双曲関数の逆関数であり、逆円関数に類似しています。一般的に使用される関数は、逆双曲正弦、逆双曲余弦、逆双曲正接、逆双曲余割、逆双曲正割、逆双曲余接の 6 つです。これらは通常、双曲関数の記号にarc-またはar-を接頭辞として付けて表されます。

双曲関数の与えられた値に対して、逆双曲関数は対応する双曲角測度を提供します。たとえば、および です。 双曲角測度は、ローレンツ平面で測った単位双曲線の弧の長さ（ユークリッド平面での双曲弧の長さではありません）と、対応する双曲セクターの面積の 2 倍です。これは、円角測度がユークリッド平面での単位円の弧の長さ、または対応する円セクターの面積の 2 倍である方法に似ています。あるいは、双曲角は双曲線のセクターの面積です。一部の著者は、逆双曲関数を双曲面積関数と呼んでいます。^[1]${\displaystyle \operatorname {arsinh} (\sinh a)=a}$${\displaystyle \sinh(\operatorname {arsinh} x)=x.}$ ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$${\displaystyle 1.}$

双曲関数は、双曲幾何学における角度と距離の計算で使用されます。また、多くの線形微分方程式(懸垂線を定義する方程式など)、3 次方程式、直交座標におけるラプラス方程式の解にも使用されます。ラプラス方程式は、電磁気理論、熱伝達、流体力学、特殊相対性理論など、物理学の多くの分野で重要です。

最も古く、最も広く採用されている記号は、逆円関数（arcsinなど）との類推により、接頭辞arc- を使用します（つまり、arcsinh、arccosh、 arctanh、 arcsech、arccsch、arccoth ）。ローレンツ平面（シグネチャ（1, 1）の擬似ユークリッド平面）^[2]または双曲数平面^[3]の単位双曲線（「ローレンツ円」）の場合、双曲角の測度（双曲関数の引数）は、実際には双曲弧の 弧長です。

また、等という表記も一般的である^{[4] [5]}が、上付き文字−1を指数と誤解しないように注意する必要がある。標準的な慣例によれば、またはは逆関数を意味し、またはは逆数を意味する。特に一貫性がないのは、正の整数の上付き文字を関数合成ではなく指数を表すために慣例的に使用することである。例えば、慣例的に はおよびを意味しない。${\displaystyle \sinh^{-1},}$ ${\displaystyle \cosh^{-1},}$${\displaystyle \sinh^{-1}x}$${\displaystyle \sinh ^{-1}(x)}$${\displaystyle (\sinh x)^{-1}}$${\displaystyle \sinh(x)^{-1}}$ ${\displaystyle 1/\sinh x.}$${\displaystyle \sinh^{2}x}$${\displaystyle (\sinh x)^{2}}$ ${\displaystyle \sinh(\sinh x).}$

双曲関数の引数はユークリッド平面における双曲弧の弧長ではないため、一部の著者は接頭辞arc-を非難し、接頭辞ar-（面積）またはarg-（引数）を使用するべきだと主張している。^[6]この推奨に従い、ISO 80000-2標準略語では接頭辞ar-を使用している（つまり、arsinh、arcosh、 artanh、 arsech、arcsch、arcoth）。

コンピュータプログラミング言語では、逆円関数と逆双曲関数は、より短い接頭辞a- ( asinhなど) で名前が付けられることが多いです。

この記事では、便宜上、 一貫して接頭辞ar- を採用します。

双曲関数は指数関数の二次有理関数なので、二次方程式の公式を使って解き、自然対数で表すことができます。 ${\displaystyle \exp x,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} x&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)&-\infty &<x<\infty ,\\[10mu]\operatorname {arcosh} x&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)&1&\leq x<\infty ,\\[10mu]\operatorname {artanh} x&={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}}&-1&<x<1,\\[10mu]\operatorname {arcsch} x&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}\right)&-\infty &<x<\infty ,\ x\neq 0,\\[10mu]\operatorname {arsech} x&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)&0&<x\leq 1,\\[10mu]\operatorname {arcoth} x&={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}}&-\infty &<x<-1\ \ {\text{or}}\ \ 1<x<\infty .\end{aligned}}}$

複素引数の場合、逆円関数と逆双曲線関数、平方根、自然対数はすべて多値関数です。

${\displaystyle \operatorname {arsinh} u\pm \operatorname {arsinh} v=\operatorname {arsinh} \left(u{\sqrt {1+v^{2}}}\pm v{\sqrt {1+u^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {arcosh} u\pm \operatorname {arcosh} v=\operatorname {arcosh} \left(uv\pm {\sqrt {(u^{2}-1)(v^{2}-1)}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {artanh} u\pm \operatorname {artanh} v=\operatorname {artanh} \left({\frac {u\pm v}{1\pm uv}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {arcoth} u\pm \operatorname {arcoth} v=\operatorname {arcoth} \left({\frac {1\pm uv}{u\pm v}}\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} u+\operatorname {arcosh} v&=\operatorname {arsinh} \left(uv+{\sqrt {(1+u^{2})(v^{2}-1)}}\right)\\&=\operatorname {arcosh} \left(v{\sqrt {1+u^{2}}}+u{\sqrt {v^{2}-1}}\right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}2\operatorname {arcosh} x&=\operatorname {arcosh} (2x^{2}-1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 1\\4\operatorname {arcosh} x&=\operatorname {arcosh} (8x^{4}-8x^{2}+1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 1\\2\operatorname {arsinh} x&=\pm \operatorname {arcosh} (2x^{2}+1)\\4\operatorname {arsinh} x&=\operatorname {arcosh} (8x^{4}+8x^{2}+1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 0\end{aligned}}}$

${\displaystyle \ln(x)=\operatorname {arcosh} \left({\frac {x^{2}+1}{2x}}\right)=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x^{2}-1}{2x}}\right)=\operatorname {artanh} \left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sinh(\operatorname {arcosh} x)={\sqrt {x^{2}-1}}\quad {\text{for}}\quad |x|>1\\&\sinh(\operatorname {artanh} x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad {\text{for}}\quad -1<x<1\\&\cosh(\operatorname {arsinh} x)={\sqrt {1+x^{2}}}\\&\cosh(\operatorname {artanh} x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad {\text{for}}\quad -1<x<1\\&\tanh(\operatorname {arsinh} x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\\&\tanh(\operatorname {arcosh} x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}\quad {\text{for}}\quad |x|>1\end{aligned}}}$

${\displaystyle \operatorname {arsinh} \left(\tan \alpha \right)=\operatorname {artanh} \left(\sin \alpha \right)=\ln \left({\frac {1+\sin \alpha }{\cos \alpha }}\right)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{\cos \alpha }}\right)}$

${\displaystyle \ln \left(\left|\tan \alpha \right|\right)=-\operatorname {artanh} \left(\cos 2\alpha \right)}$^[7]

${\displaystyle \ln x=\operatorname {artanh} \left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}\right)=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x^{2}-1}{2x}}\right)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\frac {x^{2}+1}{2x}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {artanh} x=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {arsinh} x=\operatorname {artanh} \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\sqrt {1+x^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {arcosh} x=\left|\operatorname {arsinh} \left({\sqrt {x^{2}-1}}\right)\right|=\left|\operatorname {artanh} \left({\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}\right)\right|}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}},{\text{ for all real }}x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}},{\text{ for all real }}x>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}},{\text{ for all real }}|x|<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}},{\text{ for all real }}|x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x&{}={\frac {-1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}},{\text{ for all real }}x\in (0,1)\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x&{}={\frac {-1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}},{\text{ for all real }}x{\text{, except }}0\\\end{aligned}}}$

これらの式は双曲関数の導関数によって導出できる。例えば、ならば 、${\displaystyle x=\sinh \theta }$${\textstyle dx/d\theta =\cosh \theta ={\sqrt {1+x^{2}}},}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} (x)={\frac {d\theta }{dx}}={\frac {1}{dx/d\theta }}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}.}$

上記の関数に対して拡張シリーズを取得できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} x&=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}\pm \cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcosh} x&=\ln(2x)-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln(2x)-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-2n}}{2n}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {artanh} x&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsch} x=\operatorname {arsinh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-7}}{7}}\pm \cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-(2n+1)}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsech} x=\operatorname {arcosh} {\frac {1}{x}}&=\ln {\frac {2}{x}}-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln {\frac {2}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n}}{2n}},\qquad 0<x\leq 1\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcoth} x=\operatorname {artanh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}+{\frac {x^{-3}}{3}}+{\frac {x^{-5}}{5}}+{\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}}$

arsinhの漸近展開は次のように与えられる。

${\displaystyle \operatorname {arsinh} x=\ln(2x)+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\left({-1}\right)^{n-1}{\frac {\left({2n-1}\right)!!}{2n\left({2n}\right)!!}}}{\frac {1}{x^{2n}}}}$

複素変数の関数として、逆双曲関数は有限個の点を除いて解析的である多価関数です。このような関数の場合、有限個の弧（通常は半直線または線分）が削除された複素平面からなる領域上で、多価関数の特定の 1 つの枝と一致する単価解析関数である主値を定義するのが一般的です。これらの弧は分岐切断と呼ばれます。多価関数の主値は特定の点で選択され、定義領域内の他の場所は解析接続によって見つかった値と一致するように定義されます。

たとえば、平方根の場合、主値は正の実部を持つ平方根として定義されます。これは、変数の非正の実数値 (2 つの平方根の実部がゼロ) を除くすべての場所で定義される単一の値の解析関数を定義します。平方根関数のこの主値は、次のように示されます。同様に、次のように示される対数の主値は、虚部の絶対値が最小になる値として定義されます。これは、対数の 2 つの異なる値が最小になる変数の非正の実数値を除くすべての場所で定義されます。 ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$${\displaystyle \operatorname {Log} }$

すべての逆双曲関数について、主値は平方根と対数関数の主値によって定義できます。ただし、§ 対数による定義の公式では、定義域が小さすぎたり、連結されていない場合があるため、正しい主値が得られない場合があります。

逆双曲正弦の主値は次のように与えられる。

${\displaystyle \operatorname {arsinh} z=\operatorname {Log} (z+{\sqrt {z^{2}+1}}\,)\,.}$

平方根の引数は、z が虚軸の区間[ i , + i ∞) および (− i ∞, − i ] のいずれかに属する場合に限り、非正の実数です。対数の引数が実数の場合、それは正です。したがって、この式は、分岐カット [ i , + i ∞)および(− i ∞ , − i ] を持つ arsinh の主値を定義します 。分岐カットは特異点 iと− iを無限大に接続する必要があるため、これは最適です。

§ 逆双曲余弦の式は、対数や平方根の主値と同様に、虚数zに対してはarcoshの主値が定義されないため、便利ではありません。したがって、平方根は因数分解する必要があり、次のようになります。

${\displaystyle \operatorname {arcosh} z=\operatorname {Log} (z+{\sqrt {z+1}}{\sqrt {z-1}}\,)\,.}$

平方根の主値は両方とも定義されていますが、z が実数区間(−∞, 1]に属する場合は除きます。対数の引数が実数の場合、z は実数であり、同じ符号を持ちます。したがって、上記の式は、実数区間(−∞, 1]の外側の arcosh の主値を定義し、これが唯一の分岐切断点となります。

§ 対数の定義で示した式は、

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {artanh} z&={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({\frac {1+z}{1-z}}\right)\\\operatorname {arcoth} z&={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({\frac {z+1}{z-1}}\right)\end{aligned}}}$

逆双曲正接と逆双曲余接の主値の定義については、これらの式で、対数の偏角が実数となるのは、zが実数の場合に限ります。 artanh の場合、この偏角は、 z が(−∞, −1]または[1, ∞)のいずれかに属する 場合に、実数区間(−∞, 0]内にあります。 arcoth の場合、対数の偏角は、 z が実数区間[−1, 1]に属する場合に限り、実数区間 (−∞, 0] 内にあります。

したがって、これらの式は、 逆双曲正接の場合は分岐切断が(−∞, −1]と[1, ∞) 、逆双曲余接の場合は[−1, 1]となる便利な主値を定義します。

分岐切断付近での数値評価を改善するため、一部の著者^[要出典]は主値の次の定義を使用していますが、2 番目の定義ではz = 0で除去可能な特異点が発生します。 の 2 つの定義は、の実数値の場合と異なります。の2 つの定義は、 の実数値の場合とで異なり ます。 ${\displaystyle \operatorname {artanh} }$${\displaystyle z}$${\displaystyle z>1}$${\displaystyle \operatorname {arcoth} }$${\displaystyle z}$${\displaystyle z\in [0,1)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {artanh} z&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({1+z}\right)-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({1-z}\right)\\\operatorname {arcoth} z&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({1+{\frac {1}{z}}}\right)-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({1-{\frac {1}{z}}}\right)\end{aligned}}}$

逆双曲余割の主値は次のように定義される。

${\displaystyle \operatorname {arcsch} z=\operatorname {Log} \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}+1}}\,\right)}$。

これは、対数と平方根の引数が非正の実数である場合を除き定義されます。したがって、平方根の主値は、虚線の区間[− i , i ]の外側で定義されます。対数の引数が実数の場合、z はゼロ以外の実数であり、これは対数の引数が正であることを意味します。

したがって、主値は分岐切断の外側で上記の式によって定義され、仮想直線の 区間[− i , i ]で構成されます。

( z = 0では、分岐に含まれる特異点が存在します。)

ここで、逆双曲余弦の場合と同様に、平方根を因数分解する必要があります。これにより、主値が得られます。

${\displaystyle \operatorname {arsech} z=\operatorname {Log} \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z}}+1}}\,{\sqrt {{\frac {1}{z}}-1}}\right).}$

平方根の引数が実数であれば、z も実数であり、平方根の両方の主値が定義されます。ただし、zが実数で区間(−∞, 0]および[1, +∞)の 1 つに属する場合は除きます。対数の引数が実数で負であれば、zも実数で負です。したがって、 arsech の主値は、上記の式により、2 つの分岐、つまり実区間(−∞, 0]および[1, +∞)の外側で明確に定義されます。

z = 0の場合、分岐の 1 つに含まれる特異点が存在します。

逆双曲関数の主値の次のグラフィカル表現では、分岐カットが色の不連続として表示されます。分岐カット全体が不連続として表示されるという事実は、これらの主値がより大きな領域で定義された解析関数に拡張できないことを示しています。言い換えると、上記で定義された分岐カットは最小限です。

• 複素対数
• 双曲正割分布
• ISO80000-2 認証
• 逆双曲関数の積分一覧

• Herbert Busemannと Paul J. Kelly (1953) Projective Geometry and Projective Metrics、207 ページ、Academic Press。

• 「逆双曲関数」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]