引きつける固定点 を示す ロジスティック マップのクモの巣プロットの構築 。
ええ =
x
2
+ 3
{\displaystyle y=x^{2}+3}
ロジスティック マップ のアニメーション化されたクモの巣図 。 のほとんどの値に対して カオス的な動作 を示します。
ええ = r x （ 1 − x ）
{\displaystyle y=rx(1-x)}
r > 3.57
{\displaystyle r>3.57}
クモの巣 図は、 ルメレー図 または ヴェルフルスト図 とも呼ばれ、 ロジスティックマップ などの 1次元 反復関数の質的挙動を調査するために 数学の 動的システムの 分野 で使用される視覚ツールです 。この手法は、1890年代にE.-M.ルメレーによって導入されました。 [1]クモの巣図を使用すると、マップを 繰り返し適用した 場合の 初期条件 の長期的な状態を推測できます 。 [2]
方法 与えられた反復関数 の場合 、プロットは対角線 ( ) と を表す曲線で構成されます 。値 の動作をプロットするには 、次の手順を実行します。
ふ :
R
→
R
{\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }
x = ええ
{\displaystyle x=y}
ええ = ふ （ x ）
{\displaystyle y=f(x)}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
関数曲線上の x 座標が の点を探します 。この点の座標は ( ) です。
x
0
{\displaystyle x_{0}}
x
0
、 ふ （
x
0
）
{\displaystyle x_{0},f(x_{0})}
この点から対角線まで水平にプロットします。これは座標 ( ) を持ちます。
ふ （
x
0
） 、 ふ （
x
0
）
{\displaystyle f(x_{0}),f(x_{0})}
対角線上の点から関数曲線まで垂直にプロットします。これは座標 ( ) を持ちます。
ふ （
x
0
） 、 ふ （ ふ （
x
0
） ）
{\displaystyle f(x_{0}),f(f(x_{0}))}
必要に応じて手順 2 から繰り返します。
解釈 ルメレー図では、安定した 固定点は、 階段の長さが徐々に短くなる階段の部分、つまり内向きの 螺旋 に対応し、不安定な固定点は、階段の長さが長くなる階段の部分、つまり外向きの螺旋 に対応する。固定点の定義から、階段は 収束するが、螺旋は 対角線 が関数グラフと交差する点を中心とすることがわかる 。周期 2 の 軌道は 長方形 で表され 、周期サイクルが長くなると、さらに複雑な閉ループが生成される。 カオス 軌道は「塗りつぶされた」領域を示し、これは繰り返されない値が無限にあることを示している。 [2]
ええ = x
{\displaystyle y=x}
参照
参考文献
^ レメレー、E.-M. （1897年）。 「代替ユニフォームの収束」 (PDF) 。 Nouvelles annales de mathématiques、3e シリーズ 。 16 : 306–319。 ^ ab Stoop、ルエディ;スティーブ、ウィリ・ハンス (2006)。 Berechenbares Chaos in dynamischen Systemen [ 動的システムにおける計算可能なカオス ] (ドイツ語)。ビルクホイザー・バーゼル。 p. 8. 土井 ：10.1007/3-7643-7551-5。 ISBN 978-3-7643-7551-5 。
外部リンク
ウィキメディア・コモンズには、クモの巣の陰謀に関連するメディアがあります。
