インクルージョンマップ

数学では、${\displaystyle A}$は、​${\displaystyle B,}$すると包含マップは関数になります${\displaystyle \iota }$各要素を送信する${\displaystyle x}$の${\displaystyle A}$に${\displaystyle x,}$要素として扱われる${\displaystyle B:}$$${\displaystyle \iota :A\rightarrow B,\qquad \iota (x)=x.}$$

包含マップは、包含関数、挿入、^{[ 1 ]}または正準注入とも呼ばれることがあります。

上記の関数矢印の代わりに、 「フック付き矢印」（U+ 21AA ↪フック付き右向き矢印）^{[ 2 ]が包含マップを表すために使用されることがあります。}$${\displaystyle \iota :A\hookrightarrow B.}$$

（ただし、一部の著者はこの鉤状の矢印をあらゆる埋め込みに使用している。）

これや部分構造からのその他の類似の単射関数^{[ 3 ]}は、自然単射と呼ばれることがある。

任意の射が与えられた場合${\displaystyle f}$オブジェクト間${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$包含マップが存在する場合${\displaystyle \iota :A\to X}$ドメインへ${\displaystyle X}$そうすれば、制約を形成できる${\displaystyle f\circ \iota }$の${\displaystyle f.}$ 多くの場合、コドメインへの標準的な包含関係を構築することもできます。${\displaystyle R\to Y}$範囲として知られている${\displaystyle f.}$

包含写像は代数構造の準同型写像となる傾向があるため、このような包含写像は埋め込みである。より正確には、ある演算に関して閉じている部分構造が与えられた場合、包含写像はトートロジー的な理由から埋め込みとなる。例えば、ある二項演算の場合、${\displaystyle \star ,}$要求する $${\displaystyle \iota (x\star y)=\iota (x)\star \iota (y)}$$ それは単に${\displaystyle \star }$は、部分構造と大規模構造の両方で一貫して計算されます。単項演算の場合も同様ですが、定数要素を選択するヌル項演算についても検討する必要があります。ここで重要なのは、閉包性によって、そのような定数は部分構造で既に与えられている必要があるということです。

包含写像は代数トポロジーで見られ、${\displaystyle A}$強い変形収縮${\displaystyle X,}$包含写像は、すべてのホモトピー群間の同型写像（つまり、ホモトピー同値写像）を生み出す。

幾何学における包含写像にはさまざまな種類があります。たとえば、部分多様体の埋め込みなどです。微分形式などの反変オブジェクト（つまり、引き戻しを持つオブジェクト。これらは古い無関係な用語では共変と呼ばれます）は部分多様体に制限され、反対方向の写像を与えます。より洗練された別の例としては、アフィン スキームがあり、その包含写像は $${\displaystyle \operatorname {Spec} \left(R/I\right)\to \operatorname {Spec} (R)}$$ そして $${\displaystyle \operatorname {Spec} \left(R/I^{2}\right)\to \operatorname {Spec} (R)}$$ 異なる射が存在する可能性がある。${\displaystyle R}$は可換環であり、${\displaystyle I}$理想は​${\displaystyle R.}$

• コファイブレーション– ホモトピー理論における概念 
• 恒等関数– 引数をそのまま返す関数