ダガー部門

数学の一分野である圏論において、ダガー圏（ダガーカテゴリ、または反転カテゴリ、反転を伴うカテゴリとも呼ばれる^{[1] [2]}）は、ダガーまたは反転と呼ばれる特定の構造を備えたカテゴリです。ダガーカテゴリという名前はピーター・セリンジャーによって造られました。^[3]

ダガーカテゴリは、オブジェクト上の恒等関数である反転反変自己関数を備えたカテゴリです。^[4]${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \dagger}$

具体的には、次のようになります。

• すべての射 に対して、その随伴射が存在する${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle f^{\dagger }:B\to A}$
• すべての射に対して、${\displaystyle f}$${\displaystyle (f^{\dagger })^{\dagger }=f}$
• すべてのオブジェクトに対して、${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathrm {id} _{A}^{\dagger }=\mathrm {id} _{A}}$
• すべてのおよびについて、${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle g:B\to C}$${\displaystyle (g\circ f)^{\dagger }=f^{\dagger }\circ g^{\dagger }:C\to A}$

前述の定義では、「随伴」という用語は、カテゴリ理論的な意味ではなく、線形代数的な意味に類似した（そしてそれに触発された）方法で使用されていることに注意してください。

いくつかの情報源^[5]は、反転を持つカテゴリを、その射の集合が部分的に順序付けられ、射の順序が射の合成と互換であるという追加の特性を持つダガーカテゴリとして定義しています。つまり、射のソースとターゲットが互換であるときはいつでも、射 、 に対して が成り立ちます。 ${\displaystyle a<b}$${\displaystyle a\circ c<b\circ c}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$

• 集合と関係のカテゴリRel はダガー構造を持ちます。つまり、 Rel内の特定の関係に対して、関係はの関係逆です。この例では、自己随伴射は対称関係です。 ${\displaystyle R:X\rightarrow Y}$${\displaystyle R^{\dagger }:Y\rightarrow X}$${\displaystyle R}$
• コボルディズムのカテゴリCob は、ダガーコンパクトカテゴリであり、特にダガー構造を備えています。
• ヒルベルト空間のカテゴリHilbもダガー構造を持ちます。つまり、有界線型写像が与えられた場合、その写像は通常の意味でのその随伴写像に過ぎません。 ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$${\displaystyle f^{\dagger }:B\rightarrow A}$
• 反転を持つ任意のモノイドは、オブジェクトを 1 つだけ持つダガー カテゴリです。実際、ダガー カテゴリ内のすべての自己準同型 hom-set は、ダガーがあるため、単なるモノイドではなく、反転を持つモノイドです。
• 離散カテゴリは当然のことながらダガーカテゴリです。
• 群体（および自明な帰結として群）は、射の随伴がその逆となるダガー構造も持ちます。この場合、すべての射はユニタリです（定義は下記）。

ダガーカテゴリでは、射は ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle f}$

• ユニタリの場合${\displaystyle f^{\dagger }=f^{-1},}$
• 自己随伴の場合${\displaystyle f^{\dagger }=f.}$

後者は自己準同型に対してのみ可能である。前の定義における ユニタリおよび自己随伴という用語はヒルベルト空間のカテゴリから取られており、それらの特性を満たす射は通常の意味で ユニタリかつ自己随伴である。${\displaystyle f\colon A\to A}$

• *-代数
• ダガー対称モノイドカテゴリ
• ダガーコンパクトカテゴリー

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