普遍代数 と呼ばれる数学の分野では、クローン とは、集合A上の 有限 演算 の集合 C であり、
C には、 π k n ( x 1 , …, x n ) = x k 射影 π k n A n → A C は (有限倍数) 合成 (または「重ね合わせ」)に関して閉じている: [ 1 ] 、 g 1 、 …、g m がC の要素であり、f がm 項であり、すべてのjに対して g j がn 項である場合、n 項演算h ( x 1 、 …、 x n ) := f ( g 1 ( x 1 、 …、 x n ), …、 g m ( x 1 、 …、 x n ))は C に含まれる。 クローンがヌル項演算を含むべきか否かという問題は、文献において統一的に扱われていない。クローン理論に関する標準的なモノグラフ[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] ： [ 6 ] [ 5 ] ： Lawvere の代数理論 の圏論的 設定では、ヌル項演算が含まれる。[ 7 ] [ 8 ]
符号 σ で表される代数 が与えられたとき、 σ 項によって定義可能なそのキャリア上の演算の集合（項 関数）はクローンである。逆に、適切な代数において、クローン自体を符号 σ のソースとして用いることで、すべてのクローンを項関数のクローンとして実現できる。これにより、代数はクローン全体を基本演算として持つことになる。
A とB が同じキャリアを持つ代数であり、Aのすべての基本関数が B の項関数であり、その逆も成り立つ場合、A とBは 同じクローンを持つ。このため、現代の普遍代数では、クローンは代数のシグネチャを抽象化した表現として扱われることが多い。
1要素集合にはクローンは1つしか存在しない（零項演算を考慮すると2つ存在する）。2要素集合上のクローンの束は可算であり、 [ 9 ] [ 10 ] [ 3 ] : エミール・ポスト によって完全に記述されている[ 11 ] [ 10 ] ポストの束を参照 。 [ 3 ] 37 連続多個のクローンが存在し、 [ 12 ] [ 3 ] : 39 濃度 κ （ の クローンが存在する。[ 10 ] [ 3 ] : 39 [ 9 ] [ 3 ] : 39
抽象クローン フィリップ・ホールは 抽象クローン の概念を導入した。[ 13 ] A が与えられていない点で具体クローンとは異なる。形式的には、抽象クローンは以下から構成される。
各自然数n に対する集合C n 、 すべてのk ≤ n に対してC n π k 、n 関数族 ∗: C m C n m C n m およびn について） そのため
c * ( π 1, n , …, π n , n c π k 、m c 1 、 …、c m c k c * ( d 1 * ( e 1 , …, e n d m e 1 , …, e n c * ( d 1 , …, d m e 1 , …, e n 具体的なクローンは、明白な方法で抽象的なクローンを決定する。
任意の代数理論は、 n 個の 変数に関する項の集合 (同値を除いて) であるC n 、π k 、 n 置換を表す 抽象クローンを決定します。2 つの理論が同型クローンを決定するのは、対応する代数の圏が同型である場合に限ります。逆に、すべての抽象クローンは、 C n n 項演算を持つ代数理論を決定します。これにより、抽象クローンと代数理論の間には全単射対応が存在します。
すべての抽象クローンC は、射m → n が( C m n Lawvere 理論 を誘導する。これにより、Lawvere 理論と抽象クローンの間に全単射対応が誘導される。
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