コンポジションリング

数学において、合成環は、(Adler 1962)で導入され、可換環( R ,0,+,-,·)であり、単位元1を持たない場合もある(非単位環を参照)。

${\displaystyle \circ :R\times R\rightarrow R}$

つまり、任意の3つの要素に対して、 ${\displaystyle f,g,h\in R}$

1. ${\displaystyle (f+g)\circ h=(f\circ h)+(g\circ h)}$
2. ${\displaystyle (f\cdot g)\circ h=(f\circ h)\cdot (g\circ h)}$
3. ${\displaystyle (f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h).}$

一般に は当てはまりませんし、(または) が およびと何らかの代数的関係を持つことも一般に当てはまりません。 ${\displaystyle f\circ g=g\circ f}$${\displaystyle f\circ (g+h)}$${\displaystyle f\circ (g\cdot h)}$${\displaystyle f\circ g}$${\displaystyle f\circ h}$

何も新しいものを導入せずに可換環R を合成環にする方法はいくつかあります。

• 合成は、すべてのf、gに対してによって定義できます。結果として得られる合成環はあまり興味深いものではありません。${\displaystyle f\circ g=0}$
• 合成は、すべてのf、gに対してによって定義されます。これは定数関数の合成規則です。${\displaystyle f\circ g=f}$
• R がブール環である場合、乗算は合成としても機能します。すべてのf、gに対して当てはまります。${\displaystyle f\circ g=fg}$

Rから構築された別のリング上の合成を定義することで、より興味深い例を形成することができます。

• 多項式環 R [ X ] は、すべての に対してとなる合成環です。${\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))}$${\displaystyle f,g\in R}$
• 形式的な冪級数環R [[ X ]] にも置換演算がありますが、置換される級数g が定数項をゼロにする場合のみ定義されます (そうでない場合、結果の定数項は任意の係数を持つ無限級数で与えられます)。したがって、定数係数がゼロの冪級数によって形成されるR [[ X ]] の部分集合は、多項式の場合と同じ置換規則によって与えられる合成環にすることができます。非ゼロ定数級数が存在しないため、この合成環には乗法単位がありません。
• R が整域である場合、有理関数の体R ( X ) にも多項式の置換演算から導かれる置換演算がある。分数g ₁ / g _2をXにn次多項式に代入すると、分母 の有理関数が得られる。分数に代入すると、次のように表される。${\displaystyle g_{2}^{n}}$

${\displaystyle {\frac {f_{1}}{f_{2}}}\circ g={\frac {f_{1}\circ g}{f_{2}\circ g}}.}$

しかし、形式的な冪級数の場合、右被演算子g が定数のときは合成が常に定義できるわけではありません。与えられた式では、分母が常にゼロであってはなりません。したがって、明確に定義された合成演算を持つためには、 R ( X ) の部分環に制限する必要があります。適切な部分環は、分子にゼロの定数項があるが、分母にゼロ以外の定数項がある有理関数によって与えられます。この合成環にも乗法単位はありません。R が体である場合、それは実際には形式的な冪級数の例の部分環です。${\displaystyle f_{2}\circ g}$

• 各点の加法と乗法の下でRからRへ、関数の合成によって与えられるすべての関数の集合は、合成環です。この概念には、連続関数、滑らかな関数、正則関数、または多項式関数の環から環自体への環など、さまざまなバリエーションがあります (これらの概念が意味をなす場合)。${\displaystyle \circ }$

具体的な例として、整数からそれ自身への多項式写像の環として考える環 を考える。環自己準同型 ${\displaystyle {\mathbb {Z} }[x]}$

${\displaystyle F:{\mathbb {Z} }[x]\rightarrow {\mathbb {Z} }[x]}$

の値は、変数 の像によって決まり、これを次のように表す。 ${\displaystyle {\mathbb {Z} }[x]}$${\displaystyle F}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle f=F(x)}$

そしてこの像はの任意の元になり得る。したがって、元を自己準同型とみなし、それに応じて を割り当てることができる。 が上記の公理を満たすことは簡単に検証できる。例えば、 ${\displaystyle f}$${\displaystyle {\mathbb {Z} }[x]}$${\displaystyle f\in {\mathbb {Z} }[x]}$${\displaystyle \circ :{\mathbb {Z} }[x]\times {\mathbb {Z} }[x]\rightarrow {\mathbb {Z} }[x]}$${\displaystyle {\mathbb {Z} }[x]}$

${\displaystyle (x^{2}+3x+5)\circ (x-2)=(x-2)^{2}+3(x-2)+5=x^{2}-x+3.}$

この例は、 Rがに等しいR [ X ]の例と同型であり、多項式関数によって形成される すべての関数の部分環とも同型です。${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$

• 合成演算子
• 多項式分解
• カールマン行列

• アドラー、アーヴィング（1962）、「合成環」、デューク数学ジャーナル、29（4）：607–623、doi：10.1215 / S0012-7094-62-02961-7、ISSN  0012-7094、MR  0142573