中間マグマ

抽象代数学において、中位マグマまたは中位群とは、次の恒等式を満たすマグマまたは群（つまり、二項演算を伴う集合）である。

( x • y ) • ( u • v ) = ( x • u ) • ( y • v )、

あるいはもっと簡単に言えば、

xy • uv = xu • yv

すべてのx、y、u、vに対して、並置は同じ演算を表すが優先順位が高いという慣例を用いる。この恒等式は、中間、アーベル、交替、転置、交換、双可換、双対称、超可換、エントロピーなど、さまざまな名前で呼ばれてきた。 ^[1]

任意の可換半群はメディアルマグマであり、メディアルマグマが単位元を持つのは、それが可換 モノイドである場合に限ります。「のみ」の方向は、エックマン–ヒルトンの議論です。メディアルマグマを形成する半群の別のクラスは、正規バンドです。^[2]メディアルマグマは結合的である必要はありません。演算+と整数m ≠ n を持つ任意の非自明なアーベル群に対して、 x • y = mx + nyによって定義される新しい二項演算は、一般に結合的でも可換でもないメディアルマグマを生成します。

積のカテゴリカル定義を用いると、マグマMに対して、直交座標系マグマ M  ×  Mを次の演算で 定義することができる。

( x ,  y ) • ( u ,  v ) = ( x • u ,  y • v )です。

Mの 二項演算•は、 M × MからMへの写像として考えられ、( x ,  y )をx • yに、( u ,  v )をu • vに、( x • u ,  y • v ) を( x • u ) • ( y • v ) に写像します。したがって、マグマ Mがメディアルであるためには、その二項演算がM × Mから Mへ のマグマ準同型である必要があります。これは、可換図式で簡単に表現でき、したがって、直積を持つカテゴリ内のメディアルマグマオブジェクトの概念につながります。(自動マグマオブジェクトの議論を参照してください。)

fとgが中間マグマの自己準同型ならば、点ごとの乗算によって定義される 写像f • gは

( f • g )( x ) = f ( x ) • g ( x )

はそれ自身自己準同型である。従って、中間マグマMのすべての自己準同型の集合End( M )はそれ自身も中間マグマである。

ブルック・マードック・豊田定理は、中間準群の次の特徴付けを与える。アーベル群AとAの2つの可換自己同型 φとψ が与えられたとき、 Aに対する演算• を次のように 定義する。

x · y = φ ( x ) + ψ ( y ) + c、

ここでc はAの固定された元である 。この操作の下でA が中位準群を形成することを証明するのは難しくない。ブルック・豊田定理は、すべての中位準群がこの形式であること、つまり、このようにアーベル群から定義された準群と同型であることを述べている。 ^[3]特に、すべての中位準群はアーベル群と 同形である。

この結果は1941年にマードックと豊田によって独立に得られました。^{[4] [5]}その後1944年にブルックによって再発見されました。^[6]

中間または（より一般的には）エントロピーという用語は、複数の演算への一般化にも使用されます。代数 構造は、2つの演算がすべて中間単位元の一般化を満たす場合、エントロピー代数^[7]です。fとgをそれぞれmとnの引数を持つ演算とします。fとgは、

${\displaystyle f(g(x_{11},\ldots ,x_{1n}),\ldots ,g(x_{m1},\ldots ,x_{mn}))=g(f(x_{11},\ldots ,x_{m1}),\ldots ,f(x_{1n},\ldots ,x_{mn})).}$

非結合的な中位マグマの特に自然な例は、楕円曲線上の共線的な点によって与えられます。曲線上の点に対する操作x • y = −( x + y )は、x と y の間に線を引き、その線と楕円曲線の 3 番目の交点としてx • y を定義することに相当し、楕円曲線の加算操作と同位な (可換な) 中位マグマです。

楕円曲線の加算とは異なり、x • y は曲線上の中立要素の選択に依存せず、さらに恒等式x • ( x • y ) = y を満たします。この特性は、楕円曲線の加算が結合的であることを証明する純粋に幾何学的な証明でよく使用されます。