関数のドメイン

数学において、関数の定義域は関数が受け入れる入力の集合である。定義域はまたはと表記されることもあり、ここでfは関数である。わかりやすく言えば、関数の定義域は一般に「x が取り得るもの」と考えることができる。^[1]${\displaystyle \operatorname {dom} (f)}$${\displaystyle \operatorname {dom} f}$

より正確には、関数 が与えられた場合、 fの定義域はXです。現代の数学言語では、定義域は関数の特性ではなく、関数の定義の一部です。 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

XとY が両方とも実数の集合である特殊なケースでは、関数f を直交座標系でグラフ化できます。この場合、ドメインは、関数のグラフのx軸への投影として、グラフのx軸上に表されます。

関数 の場合、集合Y は共域と呼ばれます。これは、すべての出力が属する集合です。関数がXの要素に割り当てる特定の出力の集合は、その値域または像と呼ばれます。 f の像はYのサブセットであり、添付の図では黄色の楕円で示されています。 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

任意の関数は、その定義域のサブセットに制限することができます。の への制限は、 の場合、 と表されます。 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle \left.f\right|_{A}\colon A\to Y}$

実関数 fが式によって与えられた場合、変数の値によっては定義されないことがあります。この場合、それは部分関数であり、式を実数に評価できる実数の集合はfの自然定義域または定義域と呼ばれます。多くの文脈では、部分関数は単に関数と呼ばれ、その自然定義域は単に定義域と呼ばれます。

• によって定義される関数は0 では評価できません。したがって、 の自然定義域は0 を除く実数の集合であり、またはで表すことができます。${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x\neq 0\}}$
• によって定義される区分関数は、その自然定義域として実数の集合を持ちます。${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1/x&x\not =0\\0&x=0\end{cases}},}$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• 平方根関数の自然定義域は非負の実数の集合であり、これは、区間、またはで表すことができます。${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}}$${\displaystyle [0,\infty )}$${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x\geq 0\}}$
• 正接関数 は、ある整数に対して の形にならないすべての実数 の集合を自然定義域として持ち、 と表記されます。${\displaystyle \tan}$${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}+k\pi }$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{{\tfrac {\pi }{2}}+k\pi :k\in \mathbb {Z} \}}$

ドメインという用語は、数学的解析では別の意味でもよく使用されます。ドメインとは、位相空間内の空でない 連結 開集合です。特に、実解析と複素解析では、ドメインは実座標空間または複素座標空間の空でない連結開集合です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$

このようなドメインは関数のドメインとして使用されることもありますが、関数はより一般的な集合上で定義されることもあります。この 2 つの概念は、たとえば偏微分方程式の研究のように、混同されることがあります。その場合、ドメインは問題が提起される開いた連結サブセットであり、解析スタイルのドメインであると同時に、求められる未知の関数のドメインでもあります。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

例えば、集合論では関数の定義域を適切なクラスXとすることが便利な場合があるが、その場合、形式的には三つ組( X , Y , G )は存在しない。このような定義では関数には定義域がないが、著者の中には関数をf : X → Yという形 で導入した後に非公式に定義域を使用する人もいる。^[2]

• 関数の引数
• 属性ドメイン
• 全単射、単射、全射
• コドメイン
• 領域分割
• 有効ドメイン
• エンドファンクション
• 画像（数学）
• リプシッツドメイン
• 素朴集合論
• 関数の範囲
• サポート（数学）

• ブルバキ、ニコラス (1970)。テオリ・デ・アンサンブル。数学の要素。スプリンガー。ISBN 9783540340348。
• エクルズ、ピーター J. (1997 年 12 月 11 日)。数学的推論入門: 数、集合、関数。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-59718-0。
• マック・レーン、サンダース（1998年9月25日）。働く数学者のためのカテゴリー。Springer Science & Business Media。ISBN 978-0-387-98403-2。
• スコット、ダナ S.; ジェック、トーマス J. (1971 年 12 月 31 日)。公理的集合論、第 1 部。アメリカ数学会。ISBN 978-0-8218-0245-8。
• Sharma, AK (2010)。集合論入門。Discovery Publishing House。ISBN 978-81-7141-877-0。
• スチュワート、イアン、トール、デイビッド（1977）。数学の基礎。オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0-19-853165-4。