カバー（代数）

抽象代数学では、被覆とは、ある数学的構造が別のインスタンスにマッピングされる1 つのインスタンスです。たとえば、あるグループが(自明に)サブグループを被覆するなどです。これを位相幾何学における被覆の概念と混同しないでください。

あるオブジェクトX が別のオブジェクトYを覆うと言われる場合、その被覆は、射影的で構造保存的な写像f  : X → Yによって与えられます。「構造保存」の正確な意味は、 XとYがインスタンスである数学的構造の種類によって異なります。興味深いものにするために、被覆には通常、コンテキストに大きく依存する追加のプロパティが付与されます。

DB マカリスターによる半群論の古典的な結果によれば、すべての逆半群はE ユニタリ被覆を持つ。この場合の準同型は全射であることに加え、を分離する冪等性も持ち、つまりその核では冪等性と非冪等性は決して同じ同値類には属さない。逆半群については、実際はもう少し強いことが示されており、すべての逆半群はF 逆被覆を持つ。^[1]マカリスターの被覆定理は正統半群に一般化され、すべての正統半群はユニタリ被覆を持つ。^[2]

代数学の他の分野からの例としては、有限群のフラッティーニ被覆^[3]やリー群の普遍被覆などが挙げられる。

F が何らかの環R上の加群である場合、加群MのF被覆は、次の性質を持つ 準同型X → Mです。

• XはFファミリーに属します
• X → Mは射影的である
• F族の加群からXを介したM因子への任意の射影写像
• Mへの写像と可換なXの任意の自己準同型は自己同型である。

一般に、MのF被覆は存在する必要はないが、存在する場合は、（一意でない）同型性を除いて一意である。

例:

• 射影被覆（完全環上に常に存在する）
• フラットカバー（常に存在する）
• ねじれのない被覆（常に整域上に存在する）
• 単射カバー

• 埋め込み

• ハウイー、ジョン・M（1995）。半群論の基礎。クラレンドン・プレス。ISBN 0-19-851194-9。