基本的な同値性

数理論理学の一分野であるモデル理論では、同じシグネチャσの2 つの構造MとN は、同じ1 階のσ文を満たす場合、基本的に同値であるといわれます。

N がMのサブ構造である場合、より強い条件が必要になることがよくあります。この場合、Nからのパラメータa 1 , …, a n を持つすべての 1 階 σ 式 φ ( a 1 , …, a n )が_Nでも 真_である場合、そしてそれが M で真である場合に限り、NはM_の基本 サブ_構造と呼ばれます 。 NがMの基本サブ構造である場合、M はNの 基本拡張と呼ばれます。埋め込みh :  N  →  M は、 h ( N ) がMの基本サブ構造である 場合、NのMへの基本埋め込みと呼ばれます。

Mの部分構造Nが基本的であるためには、Tarski–Vaught テストに合格する必要があります。つまり、 Nにパラメータを持ち、 Mに解を持つすべての 1 階論理式φ ( x ,  b ₁ , …,  b _n ) は、 Mで評価したときに Nにも解を持ちます 。2 つの構造が基本的に同等であることは、 Ehrenfeucht–Fraïssé ゲームで証明できます。

基本的な埋め込みは、ランクインランクを含む大きな基数の研究に使用されます。

同じシグネチャ σの2 つの構造MとNは、 σ上のすべての 1 階の文 (自由変数のない式) が Mで真である必要条件として、それがNで真である場合、つまりMとN が同じ完全な1 階の理論を持つ場合、基本的に同値です。MとN が基本的に同値である場合、 M  ≡  N と書きます。

一次理論は、そのモデルのうちの 2 つが基本的に同等である場合にのみ完全です。

たとえば、2 項関係記号 '<' が 1 つある言語を考えてみましょう。通常の順序を持​​つ実数のモデルRと通常の順序を持​​つ有理数のモデルQは、どちらも '<' を無限の密な線形順序として解釈するため、基本的同値です。無限の密な線形順序の理論はŁoś–Vaught テストで示されるように完全であるため、これで基本的同値性を保証するのに十分です。

より一般的には、無限モデルを持つ任意の一階理論には、非同型で、本質的に同値なモデルがあり、これはレーヴェンハイム・スコーレム定理によって得ることができます。したがって、たとえば、ペアノ算術の非標準モデルがあり、これは 0、1、2 などの数字以外のオブジェクトを含みますが、標準モデルと本質的に同値です。

NがMの基本部分構造または基本部分モデルであるとは、NとM が同じシグネチャσの構造であり、自由変数x ₁、 …、  x _n、およびNの すべての要素a ₁、 …、  a _nを持つすべての 1 階σ式φ ( x ₁、 …、  x _n ) に対して、φ ( a ₁、 …、  a _n )がNで成立する場合、およびそれがMで成立する場合に限ります。  $${\displaystyle N\models \varphi (a_{1},\dots ,a_{n}){\text{ }}M\models \varphi (a_{1},\dots ,a_{n}) の場合のみ。}$$

この定義はTarski, Vaught（1957）^[1]に初めて登場しました。したがって、NはMのサブ構造となります。

N がMのサブ構造である場合、NとM は両方とも、 σとNのすべての要素の新しい定数記号で 構成されるシグネチャσ _Nの構造として解釈できます。N がMのサブ構造であり、 NとMがσ _N構造として基本的に同等である場合に限り、 N はMの基本サブ構造です。

NがMの基本部分構造である場合、N Mと書き、 M はN : M Nの基本拡張であると言います。 ${\displaystyle \preceq}$ ${\displaystyle \succeq}$

下向きのレーヴェンハイム・スコーレム定理は、最大で可算なシグネチャを持つ任意の無限一次構造に対して可算な基本部分構造を与えます。上向きのレーヴェンハイム・スコーレム定理は、任意の大きな基数を持つ任意の無限一次構造の基本拡張を与えます。

Tarski -Vaught テスト(またはTarski-Vaught 基準) は、構造Mのサブ構造N が基本サブ構造になるための必要かつ十分な条件です。これは、大きな構造の基本サブ構造を構築するのに役立ちます。

M をシグネチャσの構造とし、N をMのサブ構造とします。このとき、 σ上のすべての 1 次式φ ( x ,  y ₁ , …,  y _n )とNのすべての要素b ₁ , …,  b _nに対して、M x φ ( x ,  b ₁ , …,  b _n )であれば、 Nに要素aが存在してM φ ( a ,  b ₁ , …,  b _n )となる場合、かつその場合に限り、 N はMの基本サブ構造となります。 ${\displaystyle \models}$ ${\displaystyle \exists }$  ${\displaystyle \models}$

構造Nを同じシグネチャσの構造Mに埋め込む基本的埋め込みは、写像h :  N  →  Mであり、任意の 1 階σ式φ ( x ₁ , …,  x _n ) とNの すべての要素a ₁ , …,  a _nに対して、

N φ ( a ₁ , …,  a _n ) であるのは、M φ ( h ( a ₁ ), …,  h ( a _n ) の場合に限ります。${\displaystyle \models}$ ${\displaystyle \models}$

すべての基本埋め込みは強準同型であり、その像は基本部分構造です。

基本埋め込みはモデル理論において最も重要な写像である。集合論では、定義域がV (集合論の宇宙) である基本埋め込みは、大基数の理論において重要な役割を果たす(臨界点も参照)。

• チャン、チェン・チュン;キースラー、H. ジェローム(1990) [1973]、モデル理論、論理学と数学の基礎研究 (第 3 版)、エルゼビア、ISBN 978-0-444-88054-3。
• ホッジス、ウィルフリッド（1997）、A shortened model theory、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-58713-6。
• モンク、J.ドナルド（1976）、数学論理学、Graduate Texts in Mathematics、ニューヨーク、ハイデルベルク、ベルリン：Springer Verlag、ISBN 0-387-90170-1