クラス（集合論）

集合論および数学全体にわたるその応用において、クラスとは、そのすべてのメンバーが共有する特性によって明確に定義できる集合（または場合によっては他の数学的オブジェクト）のコレクションである。クラスは、パラドックス、特にラッセルのパラドックス（§ パラドックスを参照）を回避するために、集合とは異なる集合のようなコレクションを持つ方法として機能します。「クラス」の正確な定義は基礎的なコンテキストによって異なります。ツェルメロ-フランケル集合論の研究において、クラスの概念は非公式ですが、フォン・ノイマン-ベルネイス-ゲーデル集合論などの他の集合論では、「適切なクラス」の概念、たとえば別のエンティティのメンバーではないエンティティの概念が公理化されています。

集合ではないクラス（非公式にはツェルメロ-フランケル）は真クラスと呼ばれ、集合であるクラスは小クラスと呼ばれることがあります。たとえば、すべての順序数のクラスやすべての集合のクラスは、多くの形式体系において真クラスです。

クワインの集合論的著作では、「固有クラス」という語句の代わりに「究極クラス」という語句が頻繁に使用され、彼が考察するシステムでは、特定のクラスはメンバーになることができず、したがって、それらが属するメンバーシップ チェーンの最終項であることを強調しています。

集合論以外では、「クラス」という言葉は「集合」と同義語として使われることがある。この用法は、現代の集合論用語のようにクラスと集合が区別されていなかった歴史的時代に遡る。^[1] 19世紀以前の「クラス」に関する議論の多くは、実際には集合を指しており、あるいはむしろ、特定のクラスが集合ではない可能性があることを考慮せずに行われている。^{[非一次ソースが必要]}

特定の型のすべての代数構造の集合は、通常、適切なクラスになります。例としては、すべてのグループのクラス、すべてのベクトル空間のクラスなどがあります。圏論では、オブジェクトの集合が適切なクラスを形成する（または射の集合が適切なクラスを形成する）カテゴリを、大カテゴリと呼びます。

超実数は、体の特性を持つオブジェクトの適切なクラスです。

集合論では、多くの集合の集合が適切なクラスであることがわかります。例としては、すべての集合のクラス (普遍クラス)、すべての順序数のクラス、すべての基数のクラスなどがあります。

あるクラスが適切であることを証明する 1 つの方法は、そのクラスをすべての順序数のクラスと一対一に配置することです。この方法は、たとえば、 3 つ以上の生成元に自由 完全格子が存在しないことを証明するときに使用されます。

素朴集合論のパラドックスは、「すべてのクラスは集合である」という矛盾した暗黙の仮定によって説明できる。厳密な基礎があれば、これらのパラドックスは、特定のクラスが適切であること（つまり、集合ではないこと）の証明を示唆する。たとえば、ラッセルのパラドックスは、自分自身を含まないすべての集合のクラスが適切であることの証明を示唆し、ブラーリ＝フォルティのパラドックスは、すべての順序数のクラスが適切であることを示唆する。クラスを含むクラスという概念がないため、クラスではパラドックスは発生しない。そうでなければ、たとえば、自分自身を含まないすべてのクラスのクラスを定義することができ、それはクラスに対するラッセルのパラドックスにつながる。一方、集合体は、メンバーとして適切なクラスを持つことができる。 ^[2]

ZF集合論はクラスの概念を形式化していないため、クラスを含む各式は、構文的にクラスを含まない式に簡約される必要がある。^[3] たとえば、式を に簡約できる。クラスと集合変数記号の場合、式、、、のそれぞれを、クラスが出現しない式に展開できる必要がある。 ^{[4] p. 339}${\displaystyle A=\{x\mid x=x\}}$${\displaystyle \forall x(x\in A\leftrightarrow x=x)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x\in A}$${\displaystyle x=A}$${\displaystyle A\in x}$${\displaystyle A=x}$

意味論的には、メタ言語では、クラスは論理式の同値類として記述できます。 がZF を解釈する構造である場合、オブジェクト言語の「クラス構築式」は、が成り立つのドメインのすべての要素のコレクションによって で解釈されます。したがって、クラスは（それ自体を含む）と同等のすべての述語の集合として記述できます。特に、「すべての集合のクラス」を と同等のすべての述語の集合と同一視できます。^[要出典]${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \{x\mid \phi \}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \lambda x\phi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle x=x}$

クラスは ZF 理論では正式な地位を持たないため、ZF の公理はクラスに直接適用されません。ただし、アクセス不可能な基数を想定すると、より小さいランクの集合は ZF ( グロタンディーク宇宙)のモデルを形成し、そのサブセットは「クラス」と考えることができます。 ${\displaystyle \kappa }$

ZF では、関数の概念をクラスに一般化することもできます。クラス関数は集合ではないため、通常の意味での関数ではありません。むしろ、任意の集合に対して、ペアがを満たす集合は1 つしか存在しないという特性を持つ式です。たとえば、各集合をその冪集合にマッピングするクラス関数は、式 と表現できます。順序付きペアがを満たすという事実は、省略記法 で表現できます。 ${\displaystyle \Phi (x,y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle y={\mathcal {P}}(x)}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Phi (x)=y}$

別のアプローチは、フォン ノイマン - ベルネイス - ゲーデル公理(NBG)によって採用されています。クラスはこの理論の基本オブジェクトであり、セットは他のクラスの要素であるクラスとして定義されます。ただし、NBG のクラス存在公理は、すべてのクラスではなくセットのみを定量化するように制限されています。これにより、NBG はZFC の保守的な拡張になります。

モース・ケリー集合論は、 NBG のように固有クラスを基本オブジェクトとして認めますが、クラス存在公理ですべての固有クラスに対する量化も許可します。これにより、MK は NBG と ZFC の両方よりも厳密に強力になります。

New Foundationsや半集合の理論などの他の集合論では、「適切なクラス」の概念は依然として意味をなしますが (すべてのクラスが集合であるわけではありません)、集合性の基準は部分集合の下で閉じられません。たとえば、普遍集合を持つ集合論には、集合のサブクラスである適切なクラスがあります。

• ジェック、トーマス（2003）、集合論、シュプリンガー数学モノグラフ（第三千年紀版）、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー出版社、ISBN 978-3-540-44085-7
• レヴィ、A.（1979）、Basic Set Theory、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag
• スマリヤン、レイモンド M.; フィッティング、メルビン (2010)、『集合論と連続体問題』、ドーバー出版、ISBN 978-0-486-47484-7
• モンク、ドナルド J. (1969)、集合論入門、McGraw-Hill Book Co.、ISBN 9780070427150

• ワイスタイン、エリック W.、「セットクラス」、MathWorld