因数分解システム

数学では、すべての関数は、射影関数とそれに続く単射関数の合成として記述できることが示されます。因数分解システムは、圏論におけるこの状況を一般化したものです。

カテゴリCの因数分解システム( E 、 M )は、次の式で表されるCの2 つの射クラスEとMで構成されます。

1. EとM は両方ともCのすべての同型を含み、合成に関して閉じています。
2. Cのすべての射f は、いくつかの射およびに対してとして因数分解できます。${\displaystyle f=m\circ e}$${\displaystyle e\in E}$${\displaystyle m\in M}$
3. 因数分解は関数的です。つまり、と が2 つの射であり、いくつかの射とに対して、次の図式が可換となる一意の射が存在する場合です。${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle vme=m'e'u}$${\displaystyle e,e'\in E}$${\displaystyle m,m'\in M}$${\displaystyle w}$

注意:は 矢印カテゴリにおけるからへの射です。 ${\displaystyle (u,v)}$${\displaystyle 私}$${\displaystyle m'e'}$

2つの射とが直交するとは、との任意の射のペアに対して、図が ${\displaystyle e}$${\displaystyle m}$${\displaystyle e\downarrow m}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle ve=mu}$${\displaystyle w}$

可換である。この概念は、射の集合の直交を定義するために拡張することができる。

${\displaystyle H^{\uparrow }=\{e\quad |\quad \forall h\in H,e\downarrow h\}}$そして${\displaystyle H^{\downarrow}=\{m\quad |\quad \forall h\in H,h\downarrow m\}.}$

因数分解系にはすべての同型が含まれるので、定義の条件(3)は ${\displaystyle E\cap M}$

（３'）と${\displaystyle E\subseteq M^{\uparrow}}$${\displaystyle M\subseteq E^{\downarrow }.}$

証明:前の図(3)において、(適切なオブジェクト上の恒等式)とをとる。 ${\displaystyle m:=id,\ e':​​=id}$${\displaystyle m':=m}$

Cの射のクラスのペアは、次の条件を満たす場合にのみ因数分解システムです。 ${\displaystyle (E,M)}$

1. Cのあらゆる射fは次のように因数分解でき、${\displaystyle f=m\circ e}$${\displaystyle e\in E}$${\displaystyle m\in M.}$
2. ${\displaystyle E=M^{\uparrow }}$そして${\displaystyle M=E^{\downarrow }.}$

eとm がカテゴリCの 2 つの射であるとします。すると、ve  =  muとなるようなuとvの射のすべてのペアに対して、次の図が可換となるような w が存在するとき、 eはmに関して左持ち上げ特性を持ちます(それぞれ、m はeに関して右持ち上げ特性を持ちます)。直交性との違いは、wが必ずしも一意ではないことです。

カテゴリCの弱因数分解システム( E , M )は、 Cの2つの射クラスEとMで構成され、次のようになります。^[1]

1. クラスE は、 M内の各射に対して左持ち上げ特性を持つ射のクラスです。
2. クラスM は、 E内の各射に対して正しい持ち上げ特性を持つ射のクラスです。
3. Cのすべての射f は、いくつかの射およびに対してとして因数分解できます。${\displaystyle f=m\circ e}$${\displaystyle e\in E}$${\displaystyle m\in M}$

この概念はモデルカテゴリの簡潔な定義につながる。モデルカテゴリは、カテゴリCと（いわゆる）弱同値 W、ファイバリングF、コファイバリングCのクラスからなるペアであり、

• Cは すべての極限と余極限を持ちます。

• ${\displaystyle (C\cap W,F)}$は弱い因数分解システムであり、

• ${\displaystyle (C,F\cap W)}$は弱い因数分解システムであり、

• ${\displaystyle W}$は3つのうち2つが合成可能な射であるという性質を満たす。つまり、 と が合成可能な射であり、 の2つがに含まれる場合、3つ目も に含まれる。^[2]${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f,g,g\circ f}$${\displaystyle W}$

モデルカテゴリは、モデル構造を備えた完全かつ共完全なカテゴリです。マップは、に属する場合、自明なファイバ化と呼ばれ、に属する場合、自明なコファイバ化と呼ばれます。終端オブ​​ジェクトへの射がファイバ化である場合、オブジェクトはファイバ化され、初期オブジェクトからの射がコファイバ化である場合、コファイバ化されます。 ^[3]${\displaystyle F\cap W,}$${\displaystyle C\cap W.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X\rightarrow 1}$${\displaystyle 0\rightarrow X}$

• Riehl, Emily (2008)、因数分解システム(PDF)