円周四辺形に関する日本の定理

幾何学において、日本の定理は、円周四辺形内の特定の三角形の内接円の中心が長方形の頂点であるというものである。これはもともと1880年に日本の山形県にある寺院の算額に記されていた。^[2]

任意の環状四辺形を対角線で三角形に分割すると、4 つの重なり合う三角形が生成されます (各対角線は 2 つの三角形を作成します)。これらの三角形の内接円の中心は長方形を形成します。

具体的には、□ ABCD を任意の円周四辺形とし、M ₁、M ₂、M ₃、M ₄を三角形△ ABD、△ ABC、△ BCD、△ ACDの内心とします。すると、 M ₁、M ₂、M ₃、M ₄によって形成される四辺形は長方形になります。証明は Bogomolny ^{[2]と Reyes [1]}によって与えられています。

この定理は、日本の円周多角形の定理を証明するために拡張できる。この定理によれば、三角形に分割された円周多角形の内接円の半径の合計は、三角形の分割方法に依存しない。四辺形に対する定理の特別なケースは、上記の定理の2組の向かい合う内接円の半径の合計が等しいことを述べている。四辺形の場合を証明するには、四辺形の対角線に平行な辺を持つ、構築された長方形の角に接する平行四辺形を単純に作図する。この作図は、平行四辺形が菱形であることを示し、これは各対角線に接する内接円の半径の合計が等しいことを示すことと同等である。この関連する結果は、1800年の山形のより古い算額から来ている。^[2]

四辺形のケースは、一般的なケースを直ちに証明します。任意の環状多角形の 2 つの三角形分割は、1 つの対角線を別の対角線に変更し、四辺形の 2 つの内接円を、半径の合計が等しい他の 2 つの内接円に置き換える一連 の反転によって接続できるためです。

• カルノーの定理
• 日本の数学

• マンホ・アフージャ、植垣渉、松下佳代：「日本の定理を求めて」。掲載場所: Missouri Journal of Mathematical Sciences、vol 18、no. 2006 年 5 月 2 日 (プロジェクト Euclid でオンライン)
• 植垣渉：『日本定理の起源と歴史』部局紀要論文、三重大学学術電子コレクション、2001-03-01
• 笹部貞市郎（1976年）。 『几何学辞典: 问题解法』。アーカイブ.org。問題587。

• 日本の定理、アニメーションによるインタラクティブな証明