アナファンクター

XとAを圏とする。領域（ソース）がX、終領域（ターゲット）がAであり、圏XとAの間にあるアナファンクターFは圏である。${\displaystyle |F|}$表記法では${\displaystyle F:X\xrightarrow {a} A}$は、次の条件によって与えられます。^{[ 1 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

• ${\displaystyle F_{0}}$対象に関して全射である。

• ペアを${\displaystyle F_{0}:|F|\rightarrow X}$そして${\displaystyle F_{1}:|F|\rightarrow A}$ファンクター、通常のファンクターのスパン（${\displaystyle X\leftarrow |F|\rightarrow A}$）、 どこ${\displaystyle F_{0}}$完全に忠実である。

（５）

アナファンクター${\displaystyle F:X\xrightarrow {a} A}$以下の条件: ^{[ 2 ] [ 8 ] [ 9 ]}

1. セット${\displaystyle |F|}$仕様の${\displaystyle F}$地図付き${\displaystyle \sigma$ :|F|\to \mathrm {Ob} (X)} (ソース)$\displaystyle \tau$ :|F|\to \mathrm {Ob} (A)} (ターゲット)。${\displaystyle |F|}$仕様のセットです。${\displaystyle s\in |F|}$値を指定します${\displaystyle \tau (s)}$議論において${\displaystyle \sigma (s)}$。 のために${\displaystyle X\in \mathrm {Ob} (X)}$私たちは書く${\displaystyle |F|\;X}$クラスのために${\displaystyle \{s\in |F|:\sigma (s)=X\}}$そして${\displaystyle F_{s}(X)}$のために${\displaystyle \tau (s)}$表記法${\displaystyle F_{s}(X)}$と想定する${\displaystyle s\in |F|\;X}$。
2. 各${\displaystyle X,\;Y\in \mathrm {Ob} (X)}$、${\displaystyle x\in |F|\;X}$、${\displaystyle y\in |F|\;Y}$そして${\displaystyle f:X\to Y}$すべての矢印のクラスにおいて${\displaystyle \mathrm {Arr(X)} }$矢印​${\displaystyle F_{x,y}(f):F_{x}(X)\to F_{y}(Y)}$で${\displaystyle A}$。
3. すべての${\displaystyle X\in \mathrm {Ob} (X)}$、したがって${\displaystyle |F|\;X}$人が住んでいる（空ではない）。
4. ${\displaystyle F}$身分証明書を保持する。すべての${\displaystyle X\in \mathrm {Ob} (X)}$そして${\displaystyle x\in |F|\;X}$、 我々は持っています${\displaystyle F_{x,x}(\mathrm {id} _{x})=\mathrm {id} _{F_{x}X}}$
5. ${\displaystyle F}$構成を保持する。${\displaystyle X,Y,Z\in \mathrm {Ob} (X)}$、${\displaystyle x\in |F|\;X}$、${\displaystyle y\in |F|\;Y}$、${\displaystyle z\in |F|\;Z,}$そして${\displaystyle F_{x,z}(gf)=F_{y,z}(g)\circ F_{x,y}(f)}$。