図（圏論）

数学の一分野である圏論において、ダイアグラムは集合論におけるインデックス付き族の圏論的類似物です。主な違いは、圏論的設定では、インデックス付けも必要な射が存在することです。集合のインデックス付き族は、固定された集合によってインデックス付けされた集合のコレクションです。つまり、固定されたインデックス集合から集合のクラスへの関数です。ダイアグラムは、固定されたカテゴリによってインデックス付けされたオブジェクトと射のコレクションです。つまり、固定されたインデックスカテゴリから何らかのカテゴリへの関数です。

形式的には、カテゴリCのJ型の図は（共変）関手である

圏Jは、図式Dのインデックス圏またはスキームと呼ばれます。関手はJ字型図式と呼ばれることもあります。^[1] Jの実際のオブジェクトと射はほとんど重要ではなく、それらがどのように相互に関連しているのかだけが重要です。図式D は、 Jをパターン化したCのオブジェクトと射のコレクションをインデックスするものと考えられています。

技術的には、個々の図と関数、またはスキームとカテゴリの間に違いはありませんが、用語の変更は、集合論の場合と同様に、視点の変更を反映しています。つまり、インデックス カテゴリを固定し、関数 (および二次的にターゲット カテゴリ) を変更できるようにします。

最も関心があるのは、スキームJが小さい、あるいは有限のカテゴリである場合です。J が小さい、あるいは有限である場合、図は小さい、あるいは有限であると言われます。

カテゴリC内のタイプJの図の射は、関数間の自然な変換です。C内のタイプJの図のカテゴリを関数カテゴリC ^Jとして解釈することができ、図はこのカテゴリ内のオブジェクトになります。

• C内の任意のオブジェクトAが与えられた場合、定数図が得られます。これは、 J内のすべてのオブジェクトをAに、またJのすべての射をA上の恒等射に写像する図です。表記上、定数図を表すために下線がよく使用されます。つまり、 C内の任意のオブジェクトに対して、定数図 が得られます。${\displaystyle A}$${\displaystyle {\underline {A}}}$
• J が（小さな）離散カテゴリである場合、タイプJの図は本質的に、C内のオブジェクトのインデックス付きファミリ（Jによってインデックス付けされる）にすぎません。極限の構築に使用すると、結果は積 になります。余極限の場合は、余積が得られます。したがって、たとえば、J が2 つのオブジェクトを持つ離散カテゴリである場合、結果の極限は単なる 2 項積です。
• J = −1 ← 0 → +1の場合、タイプJ ( A ← B → C )の図はスパンであり、その余極限はプッシュアウトです。図にオブジェクトBと 2 つの矢印B → A、B → Cがあることを「忘れる」と、結果として得られる図は、2 つのオブジェクトAとC を持つ離散カテゴリになり、余極限は単に 2 項余積になります。したがって、この例は、図のアイデアが集合論のインデックス セットのアイデアを一般化する重要な方法を示しています。つまり、射B → A、B → Cを含めることで、図から構築された構成に追加の構造が見つかります。この構造は、インデックス内のオブジェクト間に関係がないインデックス セットのみがある場合は明らかではありません。
• 上記と双対的に、 J = −1 → 0 ← +1 の場合、タイプJ ( A → B ← C )の図はコスパンであり、その極限はプルバックです。
• 指数は「2 つの平行射」、または自由矢筒、ウォーキング矢筒と呼ばれることもあります。 型の図は矢筒であり、その極限はイコライザーであり、その余極限は余イコライザーです。${\displaystyle J=0\rightrightarrows 1}$${\displaystyle J}$ ${\displaystyle (f,g\colon X\to Y)}$
• J がposet カテゴリである場合、タイプJの図は、i ≤ jの場合は常に、一意の射f _ij  : D _i → D _jを伴うオブジェクトD _iのファミリです。Jが有向である場合、タイプJの図はオブジェクトと射の直接システムと呼ばれます。 図が反変である場合、逆システムと呼ばれます。

図式D  : J → Cの頂点Nを持つ円錐は、定数図式 Δ( N )からDへの射です。定数図式は、 Jのすべての対象をCの対象Nに送り、すべての射をN上の恒等射に送る図式です。

図式Dの極限はDへの普遍錐である。つまり、他のすべての錐が一意に因数分解できる錐である。J 型のすべての図式に対してカテゴリ C に極限が存在する場合、関数が得られる。

これにより、各ダイアグラムが限界に達します。

双対的に、図式Dの余極限はDからの普遍錐である。もしJ型のすべての図式に対して余極限が存在するなら、関手が存在する。

各図をその余極限に送ります。

図の普遍関手は対角関手であり、その右随伴関数は極限であり、左随伴関数は余極限である。^{[2]円錐は対角関手から任意の図への}自然変換と考えることができる。

図や関数カテゴリは、特にインデックス カテゴリが要素の少ない有限poset カテゴリである場合に、可換図によって視覚化されることがよくあります。インデックス カテゴリ内のすべてのオブジェクトをノードとして、射の生成セットを矢印として、恒等写像や合成として表現できる射を省略して、可換図を描きます。可換性は、poset カテゴリ内の 2 つのオブジェクト間の写像の一意性に対応します。逆に、すべての可換図は、このようにして図 (poset インデックス カテゴリからの関数) を表します。

すべての図が可換なわけではなく、すべてのインデックス カテゴリが poset カテゴリであるわけでもありません。最も簡単に言えば、自己準同型 ( ) を持つ単一のオブジェクトの図、${\displaystyle f\colon X\to X}$または 2 つの平行矢印 ( ; ) を持つ単一のオブジェクトの図は、可換である必要はありません。さらに、図は描画不可能 (無限であるため) または単に乱雑 (オブジェクトまたは射が多すぎるため) になる場合があります。ただし、図式的な可換図 (インデックス カテゴリのサブカテゴリの場合、または有向システムなどの楕円を含む) は、このような複雑な図を明確にするために使用されます。 ${\displaystyle \bullet \rightrightarrows \bullet }$${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$

• 対角関数
• 直接システム
• 逆システム

• MathWorldでの図の追跡
• WildCats は、 Mathematica用のカテゴリ理論パッケージです。オブジェクト、射、可換図、カテゴリ、関数、自然変換の操作と視覚化を行います。