ブロッホの上位チャウグループ

代数幾何学において、ブロッホの高次チャウ群（チャウ群の一般化）は、モチーフコホモロジー（滑らかな多様体の場合）の先駆けであり、基本的な例である。これはスペンサー・ブロッホ（ブロッホ 1986 ）によって導入され、その基本理論はブロッホとマーク・レヴィンによって発展させられた。

より正確に言うと、ヴォエヴォツキーの定理^{[ 1 ]}によれば、体上の滑らかなスキームXと整数p、qに対して、自然な同型が存在する。

${\displaystyle \operatorname {H} ^{p}(X;\mathbb {Z} (q))\simeq \operatorname {CH} ^{q}(X,2q-p)}$

モチーフコホモロジー群と高次チャウ群の間。

高次のチャウ群の動機の一つはホモトピー理論に由来する。特に、${\displaystyle \alpha ,\beta \in Z_{*}(X)}$代数サイクルは${\displaystyle X}$サイクルを介して合理的に等価である$\displaystyle \gamma \in Z_{*}(X\times \Delta ^{1})}$、 それから${\displaystyle \gamma }$は、${\displaystyle \alpha }$そして${\displaystyle \beta }$、そしてより高次のチャウ群は、より高次のホモトピーコヒーレンスの情報を符号化することを意図している。例えば、

${\displaystyle {\text{CH}}^{*}(X,0)}$

サイクルのホモトピー類と考えることができる一方

${\displaystyle {\text{CH}}^{*}(X,1)}$

これらは、サイクルのホモトピーのホモトピー類と考えることができる。

X を体上の準射影代数スキームとする（「代数的」とは、分離され有限型であることを意味する）。

各整数について${\displaystyle q\geq 0}$、 定義する

${\displaystyle \Delta ^{q}=\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} [t_{0},\dots ,t_{q}]/(t_{0}+\dots +t_{q}-1)),}$

これは、標準的なq単体の代数的類似物です。各シーケンスについて${\displaystyle 0\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{r}\leq q}$閉鎖型サブスキーム${\displaystyle t_{i_{1}}=t_{i_{2}}=\cdots =t_{i_{r}}=0}$これは、$\displaystyle \Delta ^{qr}}$は、$\displaystyle \Delta ^{q}}$。

各iに対して、埋め込みが存在する

${\displaystyle \partial _{q,i}:\Delta ^{q-1}{\overset {\sim }{\to }}\{t_{i}=0\}\subset \Delta ^{q}.}$

私たちは書く${\displaystyle Z_{i}(X)}$X上の代数iサイクル群に対して、 ${\displaystyle z_{r}(X,q)\subset Z_{r+q}(X\times \Delta ^{q})}$適切に交差する閉じたサブ変種によって生成されるサブグループの場合${\displaystyle X\times F}$各面Fについて$\displaystyle \Delta ^{q}}$。

以来${\displaystyle \partial _{X,q,i}=\operatorname {id} _{X}\times \partial _{q,i}:X\times \Delta ^{q-1}\hookrightarrow X\times \Delta ^{q}}$は有効なカルティエ因子であり、ギシン準同型が存在する。

${\displaystyle \partial _{X,q,i}^{*}:z_{r}(X,q)\to z_{r}(X,q-1)}$、

（定義により）部分多様体Vを交差にマッピングする${\displaystyle (X\times \{t_{i}=0\})\cap V.}$

境界演算子を定義する${\displaystyle d_{q}=\sum _{i=0}^{q}(-1)^{i}\partial _{X,q,i}^{*}}$これにより鎖状複合体が得られる。

${\displaystyle \cdots \to z_{r}(X,q){\overset {d_{q}}{\to }}z_{r}(X,q-1){\overset {d_{q-1}}{\to }}\cdots {\overset {d_{1}}{\to }}z_{r}(X,0).}$

最後に、Xのq番目の高次チャウ群は、上記の複体のq番目の相同性として定義される。

${\displaystyle \operatorname {CH} _{r}(X,q):=\operatorname {H} _{q}(z_{r}(X,\cdot )).}$

（もっと簡単に言うと、${\displaystyle z_{r}(X,\cdot )}$は自然に単体アーベル群であり、 Dold–Kan対応を考慮すると、高次のChow群もホモトピー群として定義できる。${\displaystyle \operatorname {CH} _{r}(X,q):=\pi _{q}z_{r}(X,\cdot )}$）

例えば、$\displaystyle V\subset X\times \Delta ^{1}}$^{[ 2 ]}は、交差が閉じた部分多様体である。${\displaystyle V(0),V(\infty )}$顔とともに${\displaystyle 0,\infty }$適切であれば、 ${\displaystyle d_{1}(V)=V(0)-V(\infty )}$そしてこれは、フルトンの交差理論の命題1.6により、${\displaystyle d_{1}}$はまさにゼロと有理的に等価なサイクル群である。つまり、

${\displaystyle \operatorname {CH} _{r}(X,0)=}$Xのr番目のChow グループ。

（ブロッホ 1994 ）は、開集合が与えられた場合、${\displaystyle U\subset X}$、 のために${\displaystyle Y=X-U}$、

${\displaystyle z(X,\cdot )/z(Y,\cdot )\to z(U,\cdot )}$

はホモトピー同値である。特に、${\displaystyle Y}$が純粋な余次元を持つ場合、より高次のチャウ群の長い正確なシーケンス（局在化シーケンスと呼ばれる）が得られます。

有理係数の場合、より高いチャウグループは代数的な一片と同一視されます${\displaystyle K}$-理論^{[ 3 ]}

${\displaystyle \operatorname {H} ^{p}(X;\mathbb {Q} (q))\simeq \operatorname {CH} ^{q}(X,2q-p)\otimes \mathbb {Q} \simeq K_{2p-q}(X)^{(q)},}$

すなわち、アダムス演算の固有空間${\displaystyle \Psi ^{l}}$固有値に関連付けられている${\displaystyle l^{q}}$（これは選択に依存しない${\displaystyle l}$)

• ブロッホ、スペンサー（1986年9月）。「代数的サイクルと高次のK理論」。数学の進歩。61 ：267–304。doi： 10.1016 / 0001-8708(86) 90081-2 。
• ブロッホ、スペンサー（1994）。「高次チャウ群の移動補題」。代数幾何学ジャーナル。3 ：537–568。
• ピーター・ヘイン著「モチーフコホモロジーの概要」
• ウラジミール・ヴォエヴォツキー、「モチーフコホモロジー群は任意の特性において高次のチャウ群と同型である」、International Mathematics Research Notices 7 (2002)、351–355。