積み重ねたチャウグループ

代数幾何学において、スタックのチャウ群は、多様体またはスキームのチャウ群をスタックに一般化したものである。商スタックの場合${\displaystyle X=[Y/G]}$Xの Chow 群はYのG等変 Chow 群と同じである。

多様体のチャウ群の理論との重要な違いは、サイクルが非自明な自己同型写像​​を持つことが許容され、その結果、交差理論的な演算ではこれを考慮に入れなければならない点である。例えば、スタック上の0サイクルの次数は整数である必要はなく、（非自明な安定化群のために）有理数となる。

アンジェロ・ヴィストリ（1989 ）は、（分離型）ドリーニュ・マンフォード・スタックのチャウ群に関する基本理論（主にQ上）を展開した。そこでは、チャウ群は古典的な場合と全く同じように定義される。すなわち、有理同値性を法とする整数閉部分スタックによって生成される自由アーベル群である。 

スタックX を商スタックとして記述できる場合${\displaystyle X=[Y/G]}$線形代数群Gの線形化作用を持つ準射影多様体Yに対して、 Xの Chow 群はYのG等変 Chow 群として定義される。このアプローチは、Dan Edidin と William A. Graham、およびBurt Totaroによって導入および発展された。後にAndrew Kresch (1999) は、商スタックによる階層化を許容するスタックにこの理論を拡張した。

代数スタックの高次のチャウ群（モチーフ相同性の前身）については、ロイ・ジョシュアの「スタックの交差理論：IおよびII」を参照してください。

計算は定義に依存する。したがって、ここでは何らかの公理的手続きを進める。具体的には、基底体k上の局所的に有限型の代数スタックXが与えられたとき、

1. (ホモトピー不変性) EがX上のランクnベクトル束である場合、${\displaystyle A_{p}(E)=A_{pn}(X)}$。
2. 次元 < pの各整数サブスタックZに対して、${\displaystyle A_{p}(XZ)=A_{p}(X)}$局在化シーケンスの必然的な帰結。

これらの性質は、Xがドリーニュ＝マンフォードである場合に有効であり、他の妥当な理論についても成り立つと予想される。

Xを分類スタックとする${\displaystyle BG}$は、滑らかな線形代数群Gの主Gバンドルのスタックです。定義により、これは商スタックです。${\displaystyle [*/G]}$ここで、* は * = Spec kに関連付けられたスタックと見なされます。これを次のように近似します。整数pが与えられたとき、表現を選択します。${\displaystyle G\to GL(V)}$G が自由に作用するVのG不変開部分集合Uが存在し、補集合は${\displaystyle Z=VU}$共次元を持つ${\displaystyle >-\operatorname {dim} Gp}$。 させて${\displaystyle *\times _{G}V}$商は${\displaystyle *\times V}$アクションによって${\displaystyle (x,v)\cdot g=(xg,g^{-1}v)}$アクションは無料なので、${\displaystyle *\times _{G}V}$はベクトルバンドルです${\displaystyle BG}$. このベクトル束にプロパティ 1 を適用すると、

${\displaystyle A_{p}(BG)=A_{p+\dim V}(*\times _{G}V).}$

それから、${\displaystyle *\times _{G}U=U/G}$、プロパティ2による、

${\displaystyle A_{p+\dim V}(*\times _{G}V)=A_{p+\dim V}(U/G)}$

以来${\displaystyle \dim[Z/G]=\dim Z-\dim G<\dim V+p}$。

具体的な例として、${\displaystyle G=\mathbb {G} _{m}}$そして、$\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$スケーリングによって。$\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$自由に行動する${\displaystyle U=\mathbb {A} ^{n}-\{0\}}$上記の計算により、n、pの任意の整数のペアに対して、${\displaystyle n+p\geq 0}$、

${\displaystyle A_{p}(B\mathbb {G} _{m})=A_{p+n}(\mathbb {P} ^{n-1}).}$

特に、すべての整数p ≥ 0 に対して、${\displaystyle A_{p}(B\mathbb {G} _{m})=0}$。 一般的に、${\displaystyle A_{nk}(\mathbb {P} ^{n})=\mathbb {Q} h^{k}}$超平面クラスhの場合、${\displaystyle h^{k}}$k回自己交差と${\displaystyle h^{k}=0}$負のkの場合、

${\displaystyle A_{p}(B\mathbb {G} _{m})=\mathbb {Q} h^{-1-p}}$

ここで、右辺は計算に使用されるモデルに依存しない（異なるh 'は射影空間間の射影の下で対応するため）。${\displaystyle p=-1=\dim B\mathbb {G} _{m}}$授業${\displaystyle h^{0}=[\mathbb {P} ^{n}]}$、任意のnは、基本クラスと考えることができる。${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}}$。

同様に、

${\displaystyle A^{*}(B\mathbb {G} _{m})=\mathbb {Q} [c]}$

どこ${\displaystyle c=c_{1}(h)}$はhの最初のチャーン類である（射影空間のチャウ群とチャウ環が同一視されるとき、 cとhも同一視される）。${\displaystyle h^{k}=c\cdot h^{k-1}}$我々はそれを持っている${\displaystyle A_{*}(B\mathbb {G} _{m})}$無料です${\displaystyle \mathbb {Q} [c]}$-モジュールはによって生成されました${\displaystyle h^{0}}$。

この概念はシンプレクティック幾何学における倉西理論に由来する。^{[ 1 ] [ 2 ]}

Behrend (2009)の § 2. では、DM スタックXとXの固有法線錐C X_が与えられたとき、K. Behrend はXの仮想基本クラスを次のように定義します。

${\displaystyle [X]^{\text{vir}}=s_{0}^{!}[C_{X}]}$

ここで、s _0は完全障害理論によって決定される円錐のゼロ断面であり、s ₀ ^{!はフルトンの「交差理論」で定義されているのと同様に定義される}改良されたギシン準同型です。同じ論文では、このクラスの次数、つまりその積分が、Xのベーレンド関数の重み付きオイラー標数に等しいことを示しています。

より最近の（2017年頃の）アプローチでは、導出代数幾何学の文脈でこの種の構成が行われている。^{[ 3 ]}

• 完全妨害理論
• グロモフ・ウィッテン不変
• スタックのコホモロジー

• Behrend, Kai (2009)、「マイクロローカル幾何学によるドナルドソン・トーマス型不変量」、Annals of Mathematics、第2シリーズ、170 (3): 1307–1338、arXiv : math/0507523、doi : 10.4007/annals.2009.170.1307、MR 2600874 
• Ciocan-Fontanine, Ionuț; Kapranov, Mikhail (2009). "仮想基本クラス（dg多様体による）". Geometry & Topology . 13 (3): 1779–1804 . arXiv : math/0703214 . doi : 10.2140 / gt.2009.13.1779 . MR 2496057. S2CID 1211344 .  
• Fantechi, Barbara、「代数スタック上の仮想引き戻し（PDF）」
• Kresch, Andrew (1999)、「Artinスタックのサイクル群」、Inventiones Mathematicae、138 (3): 495–536、arXiv : math/9810166、Bibcode : 1999InMat.138..495K、doi : 10.1007/s002220050351、S2CID 119617049 
• Totaro, Burt (1999)、「分類空間のチャウ環、代数的K理論」、純粋数学シンポジウム論文集、第 67巻、アメリカ数学会、pp. 249–281、MR 1743244、Zbl 0967.14005   
• Vistoli, Angelo (1989), "Intersection theory on algebraic stacks and on their moduli spaces", Inventiones Mathematicae, 97 (3): 613–670, Bibcode:1989InMat..97..613V, doi:10.1007/BF01388892, MR 1005008, S2CID 122295050
• Nabijou, Navid (2015), Virtual Fundamental Classes in Gromov Witten Theory(PDF), archived from the original(PDF) on 2017-05-16, retrieved 2017-07-20
• Shen, Junliang (2014), Construction of the Virtual Fundamental Class and Applications(PDF)

• Virtual classes for the working mathematician
• The classical number 2875 of lines on the quintic, as a DT invariant
• What is the main failure in using Naive Chow group in Artin Stack
• Local model of virtual fundamental cycle
• https://ncatlab.org/nlab/show/virtual+fundamental+class
• On the Virtual Fundamental Class - a slide by Kai Behrend