交差理論

数学において、交差理論は代数幾何学の主要分野の1つであり、与えられた多様体の2つの部分多様体の交差に関する情報を与えます。 ^[1]多様体に対する理論はより古く、曲線に関するベズーの定理と消去法理論にその起源があります。一方、位相理論はより早く決定的な形に到達しました。

交差理論の開発は現在も進行中である。現在、主な焦点は、仮想基本サイクル、量子交差リング、グロモフ・ウィッテン理論、およびスキームからスタックへの交差理論の拡張である。^[2]

次元2 nの連結 有向多様体 Mの交差形式は、n番目のコホモロジー群（通常「中間次元」と呼ばれる）上で、 H _{2 n} ( M , ∂ M )の基本クラス[ M ]上のカップ積の評価によって定義されます。正確に言えば、双線型形式があります。

${\displaystyle \lambda _{M}\colon H^{n}(M,\partial M)\times H^{n}(M,\partial M)\to \mathbf {Z} }$

与えられた

${\displaystyle \lambda _{M}(a,b)=\langle a\smile b,[M]\rangle \in \mathbf {Z} }$

と

${\displaystyle \lambda _{M}(a,b)=(-1)^{n}\lambda _{M}(b,a)\in \mathbf {Z} .}$

これは、n が偶数の場合の対称形式（つまり、2 n = 4 k は二重偶数）であり、その場合、Mの符号は形式の符号と定義され、n が奇数の場合の交代形式（つまり、2 n = 4 k + 2は単偶数）です。これらは、対称形式と歪対称形式でそれぞれε = (−1) ⁿ = ±1である場合、一様に ε対称形式と呼ぶことができます。状況によっては、この形式をε二次形式に改良することも可能ですが、これには接線バンドルのフレーミングなどの追加データが必要になります。配向条件を削除し、代わりにZ /2 Z係数で作業することもできます。

これらの形式は重要な位相不変量です。たとえば、マイケル・フリードマンの定理は、単連結コンパクト 4 次元多様体は同相写像を除いてその交差形式によって (ほぼ) 決定されると述べています。

ポアンカレ双対性により、これを幾何学的に考える方法があることがわかります。可能であれば、aとbのポアンカレ双対として、代表的なn次元部分多様体A、B を選択します。すると、λ _M  ( a、b )はAとBの有向交差数になります。これは、 AとBの次元の合計がMの合計次元になるため、一般的に孤立した点で交差するため、明確に定義されます。これが、交差形式という用語の説明になります。

ウィリアム・フルトンは、交差点理論（1984） の中で次のように書いている。

... AとB が非特異多様体Xの部分多様体である場合、交差積A · Bは、 A ∩ B、AおよびBがX内でどのように位置するかという幾何学に密接に関連する代数的サイクルの同値類であるはずです。 2 つの極端な場合が最もよく知られています。交差が適切である場合、つまりdim( A ∩ B ) = dim A + dim B − dim Xである場合、A · B はA ∩ Bの既約成分の線形結合であり、係数は交差重複度です。もう一方の極端な場合、A = Bが非特異部分多様体である場合、自己交差の公式は、A · BがX内のAの正規バンドルのトップチャーン類によって表されることを示しています。

一般的な場合の交差重複度の定義を与えることは、アンドレ・ヴェイユの 1946 年の著書『代数幾何学の基礎』の主な関心事でした。1920 年代のBL ファン・デル・ワールデンの研究ですでにこの問題は取り上げられていました。イタリアの代数幾何学学派では、この考え方はよく知られていましたが、基礎的な問題は同じ精神で取り上げられていませんでした。

代数的サイクル VとW を交差させる適切に機能する機構には、問題のサイクルの集合論的交差V ∩ Wを取る以上のことが必要です。2 つのサイクルが「良い位置」にある場合、交差積V · Wは、2 つのサブ多様体の集合論的交差で構成されるはずです。ただし、サイクルが悪い位置にある場合もあります。たとえば、平面内の 2 つの平行線や、平面に直線 (3 次元空間で交差) がある場合などです。どちらの場合も、交差点は点である必要があります。これは、1 つのサイクルが移動された場合、これが交差点になるからです。2 つのサイクルVとWの交差点は、 (集合論的) 交差点V ∩ Wの余次元がそれぞれVとWの余次元の合計、つまり「期待される」値である場合に、適切であると呼ばれます。

したがって、代数的サイクル上の適切な同値関係を使用した移動サイクルの概念が使用されます。同値性は、任意の 2 つのサイクルVとWが与えられたときに、交差V′ ∩ W ′が適切であるような同値なサイクルV ′とW′が存在するほど広くなければなりません。もちろん、一方で、 2 番目の同値な V′′ と W′′ については、V ′ ∩ W ′はV ′′ ∩ W′と同値である必要があります。

交差理論の目的上、有理同値性は最も重要なものです。簡単に言うと、多様体X上の 2 つのr次元サイクルが有理同値であるとは、( r + 1)次元部分多様体Y上に有理関数fが存在する場合、つまり関数体k ( Y )の元、またはそれと同値な関数f   : Y → P ^{1が存在し、} V − W =   f ⁻¹ (0) −   f ⁻¹ (∞)となる場合です。ここで、f ⁻¹ (⋅)は重複度とともに数えられます。有理同値性は、上で概説したニーズを満たします。         

サイクルの交差多重度の定義における指針となる原則は、ある意味での連続性です。次の基本的な例を考えてみましょう。放物線y = x ²と軸y = 0の交差は2 · (0, 0)でなければなりません。なぜなら、サイクルの 1 つが移動すると (まだ定義されていない意味で)、サイクルが描かれた位置に近づくと、両方とも(0, 0)に収束する交差点が 2 つあるからです。(放物線と直線y = −3の一見空の交差が空である限り、この図は誤解を招きます。なぜなら、方程式の実数解のみが描かれているからです)。

交差重複度の最初の完全に満足のいく定義は、セールによって与えられた。周囲多様体X を滑らか（またはすべての局所環が正則）とする。さらに、VとW を2 つの（既約な縮約された閉）部分多様体とし、それらの交差が適切であるとする。構成は局所的であるため、多様体はXの座標環の2 つのイデアルIとJによって表される。集合論的交差V ∩ Wの既約成分をZとし、そのジェネリック点をzとする。交差積V · WにおけるZの重複度は次のように定義される。

${\displaystyle \mu (Z;V,W):=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}{\text{length}}_{{\mathcal {O}}_{X,z}}{\text{Tor}}_{i}^{{\mathcal {O}}_{X,z}}({\mathcal {O}}_{X,z}/I,{\mathcal {O}}_{X,z}/J),}$

部分多様体に対応する因子環の捩れ群のzにおけるXの局所環の長さの交代和。この表現は、セールの Tor 公式と呼ばれることもあります。

備考：

• 最初の加数、長さ

  ${\displaystyle \left({\mathcal {O}}_{X,z}/I\right)\otimes _{{\mathcal {O}}_{X,z}}\left({\mathcal {O}}_{X,z}/J\right)={\mathcal {O}}_{Z,z}}$

  は多重性の「素朴な」推測であるが、セールが示すように、それだけでは十分ではない。

• 正則局所環は有限の Tor 次元を持つため、合計は有限です。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,z}}$
• VとWの交差が適切でない場合、上記の重複度は 0 になります。適切である場合、重複度は厳密に正になります。(両方のステートメントは定義からは明らかではありません)。
• スペクトル列の議論を用いると、 μ ( Z ; V、W )= μ ( Z ; W、V )であることが示されます。

チョウ環は、有理数同値性を法とする代数的閉路の群と、次の可換共通積積から成ります。

${\displaystyle V\cdot W:=\sum _{i}\mu (Z_{i};V,W)Z_{i}}$

VとW が適切に交わるとき、集合論的交差を既約成分に分解したものがここになります。 ${\displaystyle V\cap W=\cup _{i}Z_{i}}$

2つの部分多様体VとW が与えられた場合、それらの交差V ∩ Wを取ることができますが、より微妙ではありますが、単一の部分多様体の自己交差を定義することも可能である。

たとえば、曲面S上の曲線C があるとすると、曲線 C とそれ自体との交差（集合として）は、まさにそれ自体です：C ∩ C = C。これは明らかに正しいのですが、一方で不十分です。曲面上の任意の 2 つの異なる曲線（共通の成分なし）が与えられた場合、それらの曲線は、たとえば数えることができる一連の点において交差し、交差数を取得し、与えられた曲線に対して同じことを行うとよい場合があります。この類推は、異なる曲線が交差することは 2 つの数を掛け合わせること：xy に似ており、自己交差は 1 つの数を二乗すること：x ²に似ているというものです。正式には、この類推は対称双線形形式（乗算）と二次形式（二乗）として表現されます。

これに対する幾何学的な解決法は、曲線 C を、曲線 C 自身と交差させるのではなく、曲線 C をわずかに押し出したバージョンと交差させることです。平面では、これは単に曲線 C をある方向に平行移動することを意味しますが、一般的には、Cと線形等価な曲線C′を取り、交差点C · C′を数えて交差点の数C · Cを取得することについて語っています。異なる曲線CおよびDとは異なり、実際の交差点はC′の選択に依存するため定義されませんが、「C′の自己交差点」はC上のk 個の一般的な点(k = C · C )として解釈できることに注意してください。より正確には、 Cの自己交差点は、重複度C · Cで取られたCの一般的な点です。

あるいは、この問題を双対化して[ C ] ∪ [ C ]のクラスを調べることで代数的に「解決」（または動機付け）することもできます。これにより、数値が得られ、幾何学的解釈の問題が生じます。コホモロジークラスへの移行は、曲線を線形システムに置き換えることに似ていることに注意してください。

以下の例に示すように、自己交差数は負になる場合があることに注意してください。

射影平面P ²上の直線L を考えてみましょう。他のすべての直線は直線 L と一度交差するため、直線 L の自己交差数は 1 です。つまり、直線L をL′に押しのけることができ、L′のL · L′ = 1 (任意の選択) となるため、L · L = 1 となります。交差形式の観点から、平面にはタイプx ²の交差形式があると言えます(直線のクラスは 1 つしかなく、それらはすべて互いに交差します)。

アフィン平面上では、 L を平行線に押し出すことができるため、（幾何学的に考えると）交差点の数は押し出しの選択に依存することに注意してください。「アフィン平面には適切な交差理論がない」と言われており、非射影多様体上の交差理論ははるかに困難です。

P ¹ × P ¹上の直線( P ³内の非特異二次曲面 Qとしても解釈可能) は、直線をその直線自体から離すことができるため、自己交差0 を持ちます。 (これは線織面です。) 交差形式に関して、P ¹ × P ^{1 は}xy型の交差形式を持つと言えます。つまり、1 つの点 ( xy ) で交差するが、自己交差が 0 である ( x ^{2 項}またはy ²項がない) 直線の基本的なクラスが 2 つあります。

自己交差数の重要な例は、双有理幾何学における中心的な操作であるブローアップの例外曲線です。代数曲面 Sが与えられた場合、ある点でブローアップすると曲線Cが作成されます。この曲線C は、種数が0であり、自己交差数が−1であることで認識できます(これは明らかではありません)。系として、P ²とP ¹ × P ¹は、負の自己交差を持つ曲線を持たないため、極小曲面(ブローアップではない) であることに注意してください。実際、カステルヌオーヴォの収縮定理ではその逆が述べられています。つまり、すべての(−1)曲線は、何らかのブローアップの例外曲線です (「ブローダウン」できる)。

• チャウグループ
• グロタンディーク・リーマン・ロッホの定理
• 列挙幾何学