ハッセ・シュミットの導出

数学において、ハッセ・シュミット導出は導出の概念の拡張である。この概念はシュミットとハッセ（1937）によって導入された。

（必ずしも可換環でも結合環でもない）環BとB代数Aに対して、ハッセ・シュミット微分はB代数の写像である。

${\displaystyle D:A\to A[\![t]\!]}$

Aの係数を持つ形式的冪級数の環の値を取る。この定義は、 Gatto & Salehyan (2016 、§3.4)など、いくつかの場所で見られる。そこには次の例も含まれている。Aが無限微分可能な関数の環(例えばR ⁿ上で定義) であり、B = Rの場合、写像は

${\displaystyle f\mapsto \exp \left(t{\frac {d}{dx}}\right)f(x)=f+t{\frac {df}{dx}}+{\frac {t^{2}}{2}}{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}+\cdots }$

これはハッセ・シュミットの導出であり、ライプニッツの法則を繰り返し適用することによって得られる。

ハゼウィンケル（2012）は、ハッセ・シュミット微分が双代数の作用と等価であることを示している。

${\displaystyle \operatorname {NSymm} =\mathbf {Z} \langle Z_{1},Z_{2},\ldots \rangle }$

可算個の変数Z ₁、Z ₂ 、 ...に関する非可換対称関数の部分${\displaystyle D_{i}:A\to A}$Dの係数を選択する$\displaystyle t^{i}}$は不定元Z _iの作用です。

外積代数に関するハッセ・シュミットの導出${\textstyle A=\bigwedge M}$いくつかのB加群Mについては、GattoとSalehyan (2016 、§4)によって研究されている。この文脈における導出の基本的性質は、Cayley–Hamilton 定理の概念的証明につながる。GattoとScherbak (2015)も参照のこと。

• ガット、レテリオ。 Salehyan、Parham (2016)、グラスマン代数に関するハッセ-シュミットの導出、Springer、doi : 10.1007/978-3-319-31842-4、ISBN 978-3-319-31842-4MR 3524604​ 
• Gatto, Letterio; Scherbak, Inna (2015), Remarks on the Cayley-Hamilton Theorem , arXiv : 1510.03022
• Hazewinkel, Michiel (2012)、「非可換対称関数のハッセ・シュミット微分とホップ代数」、Axioms、1 (2): 149–154、arXiv : 1110.6108、doi : 10.3390/axioms1020149、S2CID 15969581 
• シュミット, FK州; Hasse, H. (1937)、「Noch eine Begründung der Theorie der höheren Differentialquotienten in einem algebraischen Funktionenkörper einer Unbestimmten. (Nach einer Brieflichen Mitpeilung von FK Schmidt in Jena)」、J. Reine Angew。数学。、1937 (177): 215–237、doi : 10.1515/crll.1937.177.215、ISSN 0075-4102、MR 1581557、S2CID 120317012