べき乗和対称多項式

数学、特に可換代数において、べき和対称多項式は対称多項式の基本的な構成要素の一種であり、有理数係数を持つすべての対称多項式は、有理数 係数を持つべき和対称多項式の積の和と差として表現できるという意味で、対称多項式の一種である。ただし、整数係数を持つすべての対称多項式が、べき和多項式の積の整数結合によって生成されるわけではない。それらは有理数上の生成集合であるが、整数上の生成集合ではない。

変数x ₁ , ..., x _nのk次対称 多項式(k = 0, 1, 2, ...に対してp _kと表記)は、変数の すべてのk乗の和です。正式には、${\displaystyle n}$

${\displaystyle p_{k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}\,.}$

これらの多項式の最初のいくつかは

${\displaystyle p_{0}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=1+1+\cdots +1=n\,,}$

${\displaystyle p_{1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\,,}$

${\displaystyle p_{2}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\,,}$

${\displaystyle p_{3}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+\cdots +x_{n}^{3}\,.}$

したがって、各非負整数に対して、変数 の次数のべき和対称多項式が正確に 1 つ存在します。${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$

べき和対称多項式の積のすべての整線形結合によって形成される多項式環は可換環である。

以下に、の最初の 3 つの正の値に対するnまでの正の次数のべき乗和対称多項式の一覧を示します。 いずれの場合も、は多項式の 1 つです。1 からnまでのべき乗和対称多項式は、以下に述べる定理の意味で基本である ため、一覧はn次まで続きます。${\displaystyle n}$${\displaystyle n.}$${\displaystyle p_{0}=n}$

n = 1の場合:

${\displaystyle p_{1}=x_{1}\,.}$

n = 2の場合:

${\displaystyle p_{1}=x_{1}+x_{2}\,,}$

${\displaystyle p_{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\,.}$

n = 3の場合:

${\displaystyle p_{1}=x_{1}+x_{2}+x_{3}\,,}$

${\displaystyle p_{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\,,}$

${\displaystyle p_{3}=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}\,,}$

n変数の 1、2、...、n次のべき乗和対称多項式の集合は、 n変数の対称多項式の環を生成します。具体的には、次のようになります。

定理。有理係数を持つ対称多項式環は有理多項式環に等しい。係数が標数0の任意の体 で取られた場合も同様である。${\displaystyle \mathbb {Q} [p_{1},\ldots ,p_{n}].}$

しかし、係数が整数でなければならない場合にはこれは当てはまりません。例えば、n = 2の場合、対称多項式

${\displaystyle P(x_{1},x_{2})=x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2}+x_{1}x_{2}}$

表現がある

${\displaystyle P(x_{1},x_{2})={\frac {p_{1}^{3}-p_{1}p_{2}}{2}}+{\frac {p_{1}^{2}-p_{2}}{2}}\,,}$

これには分数が含まれる。定理によれば、これはp ₁とp _{2 を}使って表す唯一の方法である。したがって、P は積分多項式環に属していない。 別の例として、べき乗和多項式の多項式として表される基本対称多項式e _{k は}、必ずしも整数係数を持つわけではない。たとえば、 ${\displaystyle P(x_{1},x_{2})}$${\displaystyle \mathbb {Z} [p_{1},\ldots ,p_{n}].}$

${\displaystyle e_{2}:=\sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}={\frac {p_{1}^{2}-p_{2}}{2}}\,.}$

この定理は、体の特性が 0 と異なる場合にも成り立ちません。たとえば、体Fの特性が 2 の場合、となるため、p ₁とp _{2 は}e ₂ = x ₁ x ₂を生成できません。 ${\displaystyle p_{2}=p_{1}^{2}}$

定理の部分的な証明の概略:ニュートンの恒等式により、べき乗和は基本対称多項式の関数です。これは次の再帰関係によって暗示されますが、 e _jに関してべき乗和を与える明示的な関数は複雑です。

${\displaystyle p_{n}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{j-1}e_{j}p_{nj}\,.}$

同じ再帰式を書き直すと、べき乗和に関する基本的な対称多項式が得られます（明示的な式は複雑なので、これも暗黙的に）。

${\displaystyle e_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}(-1)^{j-1}e_{nj}p_{j}\, 。}$

これは、基本多項式が、整数ではないものの、有理数である、次数 1、...、nのべき乗和多項式の線形結合であることを意味します。基本対称多項式は、体における係数を持つすべての対称多項式の代数基底であるため、n変数のすべての対称多項式は、べき乗和対称多項式p ₁、...、p _{n の}多項式関数になります。つまり、対称多項式の環は、べき乗和によって生成される環に含まれます。 すべてのべき乗和多項式は対称であるため、2 つの環は等しくなります。 ${\displaystyle f(p_{1},\ldots,p_{n})}$${\displaystyle \mathbb {Q} [p_{1},\ldots ,p_{n}].}$

(これは多項式fが一意であることを証明する方法は示していません。)

同様の特性を持つ対称多項式の別のシステムについては、完全同次対称多項式を参照してください。

• 表現論
• ニュートンのアイデンティティ

• Ian G. Macdonald (1979)、 「対称関数とホール多項式」、オックスフォード数学モノグラフ、オックスフォード: クラレンドン プレス。
• Ian G. Macdonald (1995)、 「Symmetric Functions and Hall Polynomials」、第2版。オックスフォード: Clarendon Press。ISBN 0-19-850450-0  (ペーパーバック、1998年)。
• Richard P. Stanley ( 1999)、Enumerative Combinatorics、第2巻。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-56069-1