保型関数

数学において、保型関数とは、ある群の作用に対して不変な空間上の関数、つまり商空間上の関数です。多くの場合、空間は複素多様体であり、群は離散群です。

数学では、複素解析多様体 に作用する群に対して保型因子の概念が生じます。群が複素解析多様体 に作用するとします。すると、 はから複素数 への正則関数の空間にも作用します。関数は、次が成り立つ場合、 保型形式と呼ばれます。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(gx)=j_{g}(x)f(x)}$

ここで、 はどこでもゼロでない正則関数です。同様に、保型形式は、 の作用に対してその約数が不変である関数です。 ${\displaystyle j_{g}(x)}$${\displaystyle G}$

保型形式の保型性の因子は関数です。保型関数は、 が恒等関数 である保型形式です。${\displaystyle f}$${\displaystyle j}$${\displaystyle j}$

自己同型因子に関するいくつかの事実:

• 自己同型性のあらゆる因子は、至る所で非ゼロの正則関数の乗法群への の作用に対するコサイクルです。${\displaystyle G}$
• 自己同型因子は、どこでもゼロでない自己同型形式から生じる場合にのみ、共境界となります。
• 与えられた保型因子に対して、保型形式の空間はベクトル空間です。
• 2 つの保型形式の点ごとの積は、保型性の対応する因子の積に対応する保型形式です。

自己同型因子と他の概念の関係:

• をリー群 内の格子とします。このとき、 の保型因子は商群 上の直線束に対応します。さらに、与えられた保型因子の保型形式は、対応する直線束の切断に対応します。${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle G/\Gamma }$

上半平面上で作用するSL (2,  R )の部分群の具体的なケースについては、保型因子に関する記事で扱われます。 ${\displaystyle \ガンマ}$

• クライン群
• 楕円モジュラー関数
• モジュラー機能
• 複雑なトーラス

• AN Parshin (2001) [1994]、「保型形式」、数学百科事典、EMS Press
• アンドリアノフ、AN; パルシン、AN (2001) [1994]、「保型関数」、数学百科事典、EMS プレス
• フォード、レスター・R.（1929）、保型関数、ニューヨーク、マグロウヒル、ISBN 978-0-8218-3741-2、JFM  55.0810.04
• ロバート・フリッケ; Klein、Felix (1897)、Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen。エルスターバンド。 Die gruppentheoretischen Grondlagen。 (ドイツ語)、ライプツィヒ: BG Teubner、ISBN 978-1-4297-0551-6、JFM  28.0334.01
• フリッケ、ロバート。 Klein、Felix (1912)、Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen。 Zweiter Band: Die funktionentheoretischen Ausführungen und die Anwendungen. 1. Lieferung: 自動化理論を理解する。 (ドイツ語)、ライプツィヒ: BG Teubner、ISBN 978-1-4297-0552-3、JFM  32.0430.01