ホーマン遷移軌道

宇宙飛行学において、ホーマン トランスファー軌道（ホーマン トランスファー軌道、 / ˈ h oʊ m ə n /）は、中心天体の周りの異なる高度の 2 つの軌道間で宇宙船を移動させるために使用される軌道操作です。たとえば、ホーマン トランスファーは、衛星の軌道を低地球軌道から静止軌道に上げるために使用できます。理想的なケースでは、初期軌道と目標軌道は両方とも円形で同一平面上にあります。この操作は、初期軌道と目標軌道の両方に接する楕円形のトランスファー軌道に宇宙船を配置することによって達成されます。この操作では、2 回の衝撃的なエンジン燃焼を使用します。1 回目はトランスファー軌道を確立し、2 回目は軌道を目標に合わせて調整します。

ホーマン操作では、移行を達成するために、可能な限り低い推力（デルタ vと推進剤の消費量に比例）を使用することが多いが、より高い推力の移行よりも比較的長い移動時間が必要となる。一方の軌道が他方の軌道よりはるかに大きい場合、双楕円軌道の移行では、移動時間がさらに長くなるが、さらに少ない推力で済む可能性がある。

この操作は、1925年に著書『天体の到達可能性』でこの操作について発表したドイツの科学者ヴァルター・ホーマンにちなんで名付けられました。^{[1]ホーマンは、ドイツのSF作家}クルト・ラスヴィッツと彼の1897年の著書『二つの惑星』に一部影響を受けています。

天体間の移動に使用する場合、ホーマン遷移軌道では、出発点と目的地が互いの軌道上の特定の位置にあることが必要である。ホーマン遷移を使用する宇宙ミッションでは、この必要な位置合わせが行われるまで待たなければならず、それによって発射ウィンドウが開く。たとえば、地球と火星間のミッションの場合、これらの発射ウィンドウは 26 か月ごとに発生する。ホーマン遷移軌道では、出発点と目的地の間を移動するために必要な一定の時間も決まり、地球から火星への旅の場合、この移動時間は約 9 か月である。遷移がかなりの重力を持つ天体に近い軌道間で実行される場合、燃焼に オーベルト効果が使用される可能性があるため、通常ははるかに少ないデルタ vしか必要とされない。

こうした状況では、低エネルギー転送もよく使用されますが、実際のエンジンの推力制限を考慮し、両方の惑星の重力井戸を利用した低エネルギー転送の方が燃料効率が良くなります。^{[2] [3] [4]}

この図は、宇宙船を低い円軌道から高い円軌道に移すためのホーマントランスファー軌道を示しています。これは、宇宙船が離れる低い円軌道 (図の1で示す水色) と、宇宙船が到達する高い円軌道 (図の3で示す赤色) の両方に接する楕円軌道です。トランスファー軌道 (図の2で示す黄色) は、宇宙船のエンジンを点火してエネルギーを追加し、遠地点を上昇させることによって開始されます。宇宙船が遠地点に到達すると、2 回目のエンジン点火によってエネルギーが追加され、近地点が上昇し、宇宙船はより大きな円軌道に入ります。

軌道の可逆性により、同様のホーマン遷移軌道を使用して、宇宙船を高い軌道から低い軌道に移動させることができます。この場合、宇宙船のエンジンは現在の経路と反対方向に点火され、宇宙船の速度が下がり、その近地点が楕円遷移軌道の近地点まで下がります。次に、エンジンはより低い距離で再び点火され、宇宙船をより低い円軌道まで減速します。ホーマン遷移軌道は、2回の瞬間的な速度変化に基づいています。バーストに時間がかかることを補うために余分な燃料が必要ですが、これは、バーストの持続時間を最小限に抑える高推力エンジンを使用することで最小限に抑えられます。地球軌道での遷移の場合、2回の燃焼は、近地点燃焼と遠地点燃焼（または遠地点キック^[5]）と呼ばれ、より一般的には、近地点燃焼と遠地点燃焼と呼ばれます。あるいは、軌道を円形化するための 2 回目の噴射は、円形化噴射と呼ばれることもあります。

理想的なホーマン遷移軌道は、同一平面上の 2 つの円軌道間を遷移し、主軌道の周りを正確に 180° 周回します。現実世界では、遷移先の軌道は円形ではなく、最初の軌道と同一平面ではない場合があります。現実世界の遷移軌道は、主軌道の周りを 180° よりわずかに多く、またはわずかに少なく周回する場合があります。主軌道の周りを 180° 未満で周回する軌道は「タイプ I」ホーマン遷移と呼ばれ、180° を超えて周回する軌道は「タイプ II」ホーマン遷移と呼ばれます。^{[6] [7]}

移行軌道は主衛星の周りを360°以上回ることがある。このような複数回転の移行軌道は、タイプIIIおよびタイプIVと呼ばれることもあり、タイプIIIはタイプIに360°を加えたもので、タイプIVはタイプIIに360°を加えたものである。^[8]

ホーマン遷移軌道は、より質量の大きい天体を周回する限り、ある物体の軌道を別の物体へ転送するために使用できる。地球と太陽系の文脈では、これには太陽を周回するあらゆる物体が含まれる。ホーマン遷移軌道が使用される例としては、太陽を周回する小惑星を地球に接触させることが挙げられる。^[9]

地球を周回する衛星など、別のはるかに大きな天体を周回する小さな天体の場合、小さな天体の全エネルギーは運動エネルギーと位置エネルギーの合計であり、この全エネルギーは 平均距離 （長半径）における位置エネルギーの半分にも等しくなります。 ${\displaystyle a}$$${\displaystyle E={\frac {mv^{2}}{2}}-{\frac {GMm}{r}}={\frac {-GMm}{2a}}.}$$

この方程式を速度について解くと、 vis-viva 方程式が得られます 。ここで 、 $${\displaystyle v^{2}=\mu \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right),}$$

• ${\displaystyle v}$軌道を回る物体の速度である。
• ${\displaystyle \mu =GM}$は、主天体の標準的な重力パラメータであり、が より著しく大きくないと仮定している（つまり となる）（地球の場合、これはμ ~3.986E14 m ³ s ^{−2 で}ある）${\displaystyle M+m}$${\displaystyle M}$${\displaystyle v_{M}\ll v}$
• ${\displaystyle r}$軌道上の物体と主焦点との距離である。
• ${\displaystyle a}$天体の軌道の長半径です。

したがって、ホーマン遷移に必要なデルタv (Δv) は、瞬間的な衝撃を前提として、次のように計算できます。 円軌道から の 楕円軌道に進入するには( は結果として生じる楕円軌道の遠日点)、 の 楕円軌道から 円軌道に退出するには(と はそれぞれ出発円軌道と到着円軌道の半径)、と の小さい方 (大きい方) がホーマン楕円遷移軌道の近点距離(遠点距離)に対応します。 通常、 は m ³ /s ²の単位で与えられるため、とにはキロメートルではなくメートルを使用してください。 合計は次のようになります。 $${\displaystyle \Delta v_{1}={\sqrt {\frac {\mu }{r_{1}}}}\left({\sqrt {\frac {2r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}}-1\right),}$$${\displaystyle r=r_{1}}$${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle r_{2}}$$${\displaystyle \Delta v_{2}={\sqrt {\frac {\mu }{r_{2}}}}\left(1-{\sqrt {\frac {2r_{1}}{r_{1}+r_{2}}}}\right),}$$${\displaystyle r=r_{2}}$${\displaystyle r_{2}}$${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle r_{2}}$${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle r_{2}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle r_{2}}$${\displaystyle \Delta v}$

$${\displaystyle \Delta v_{\text{total}}=\Delta v_{1}+\Delta v_{2}.}$$

より高い軌道に移動するか、より低い軌道に移動するかにかかわらず、ケプラーの第三法則^{[壊れた錨]}によれば、軌道間の移動にかかる時間は

$${\displaystyle t_{\text{H}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {4\pi ^{2}a_{\text{H}}^{3}}{\mu }}}=\pi {\sqrt {\frac {(r_{1}+r_{2})^{3}}{8\mu }}}}$$（楕円全体の軌道周期 の半分）、ここで はホーマン遷移軌道の 半長軸の長さです。${\displaystyle a_{\text{H}}}$

ある天体から別の天体への移動に適用する場合、2つの天体が適切に一直線に並んだ時点で操作を開始することが極めて重要です。ターゲットの角速度を角度の整列と見なすと、 開始時のソースオブジェクトとターゲットオブジェクト間の 角度α（ラジアン）は$${\displaystyle \omega _{2}={\sqrt {\frac {\mu }{r_{2}^{3}}}},}$$$${\displaystyle \alpha =\pi -\omega _{2}t_{\text{H}}=\pi \left(1-{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\sqrt {\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}+1\right)^{3}}}\right).}$$

r ₁ = 6,678 km (高度 300 km)から始まり、 r ₂ = 42,164 km (高度 35,786 km) の静止軌道で終わる静止トランスファー軌道を考えます。

小さい円軌道では速度は 7.73 km/s、大きい円軌道では 3.07 km/s です。中間の楕円軌道では、速度は近地点での 10.15 km/s から遠地点での 1.61 km/s まで変化します。

したがって、最初の燃焼の Δv は 10.15 − 7.73 = 2.42 km/s、2 回目の燃焼の Δv は 3.07 − 1.61 = 1.46 km/s、両方を合わせると 3.88 km/s になります。

これは、脱出軌道に必要な Δv 10.93 − 7.73 = 3.20 km/sよりも大きいです。低軌道(LEO) で Δv をわずか 0.78 km/s 多く (3.20−2.42) 適用すると、ロケットは脱出速度になりますが、これは静止軌道を円形化するために必要な Δv 1.46 km/s よりも小さくなります。これは、高速では同じ Δv でより多くの特定の軌道エネルギーが得られるというオーベルト効果を示しています。また、Δv をいくらか消費して重力で減速し、その後減速を克服するためにさらにいくらか消費するよりも、できるだけ早く Δv を消費した方がエネルギー増加が最大化されます (もちろん、ホーマン遷移軌道の目的は異なります)。

上の例が示すように、2つの円軌道間でホーマン遷移を実行するために必要なΔ v は、目的の半径が無限大の場合には最大になりません。(脱出速度は軌道速度の√ 2倍なので、脱出に必要な Δv は軌道速度の√ 2  − 1 (41.4%) です。) 必要な Δv が最大 (小さい方の軌道速度の 53.0%) になるのは、大きい方の軌道の半径が小さい方の軌道の半径の 15.5817... 倍のときです。^{[10]この数値は}x ³ − 15 x ² − 9 x − 1 = 0の正の根であり、 です。軌道比が高いほど、2回目の燃焼に必要な Δ v は1回目が増加するよりも速く減少します。${\textstyle 5+4\,{\sqrt {7}}\cos \left({1 \over 3}\arctan {{\sqrt {3}} \over 37}\right)}$

宇宙船をある惑星の周回軌道から別の惑星の周回軌道へ移動させる場合、オーベルト効果により、最初の惑星から脱出し、続いて 2 番目の惑星へホーマン移行し、その後他の惑星の周回軌道に投入するための個別の操作の デルタvの合計よりも少ないデルタv を使用できます。

たとえば、地球から火星へ向かう宇宙船を考えてみましょう。旅の初めには、宇宙船は地球を周回する軌道に関連した一定の速度と運動エネルギーをすでに持っています。燃焼中、ロケット エンジンは delta- v を適用しますが、運動エネルギーは惑星の重力ポテンシャルから脱出するのに十分になるまで二乗則に従って増加し、その後、ホーマン遷移軌道 (太陽の周り ) に入るのに十分なエネルギーを得るためにさらに燃焼します。ロケット エンジンは推進剤の初期の運動エネルギーを利用できるため、脱出速度に達するために必要なもの以外に必要な delta- vははるかに少なく、最適な状況は、惑星上の最低高度 (低近点)で遷移燃焼が行われるときです。必要なデルタvは 3.6 km/s のみで、地球から脱出するために必要な速度より 0.4 km/s 程度大きいだけです。ただし、この結果、宇宙船は火星に向かう際に地球より 2.9 km/s 速く進むことになります (下の表を参照)。

一方、火星を捕獲するには、宇宙船は火星の重力で減速しなければなりません。この捕獲噴射は、オーベルト効果を最大限に活用するためにも、低高度で行うのが最適です。したがって、自由空間の状況と比較すると、移動のどちらの端でも、移行を準備するために必要な推力は比較的小さくなります。

しかし、ホーマン移転では、2 つの惑星の軌道上の位置合わせが非常に重要です。つまり、目的の惑星と宇宙船は、太陽の周りのそれぞれの軌道上の同じ地点に同時に到着する必要があります。この位置合わせの要件から、打ち上げウィンドウの概念が生まれました。

月については、月トランスファ軌道（LTO）という用語が使用されます。

上記の式を適用して、地球からさまざまな目的地に到着するためにホーマン遷移軌道に入るために必要な Δv を km/s で計算することができます (惑星の軌道が円であると仮定)。この表の「地球の軌道からホーマン軌道に入るための Δv」というラベルの付いた列は、地球の速度から、もう一方の端が太陽から目的の距離にあるホーマン楕円に乗るために必要な速度への変化を示しています。「LEO 高度」というラベルの付いた列は、地球表面から 300 km 上空で必要な速度 (地球を中心とする非回転参照フレーム内) を示しています。これは、特定の運動エネルギーに、この高度からの脱出速度(10.9 km/s) の 2 乗を加算することで得られます。「LEO」列は、前の速度から LEO 軌道速度 7.73 km/s を引いた値です。

ほとんどの場合、LEO からの Δ v は、地球の軌道からホーマン軌道に入るための Δ vよりも小さいことに注意してください。

太陽に到達するには、実際には24 km/s のΔ v を使用する必要はありません。8.8 km/s を使用して太陽から非常に遠くまで行き、次に無視できる Δ v を使用して角運動量をゼロにしてから、太陽に落下することができます。これは、上方向と下方向の 2 つのホーマン転移のシーケンスと考えることができます。また、表には、重力アシストに月を使用する場合に適用される値は示されていません。最も到達しやすい金星などの 1 つの惑星を使用して、他の惑星や太陽に到達するのを支援する可能性もあります。

双楕円軌道移行は、2つの半楕円軌道から構成される。最初の軌道から、最初の噴射でデルタvを消費して、宇宙船を中心天体から離れたどこかの地点に遠点を持つ最初の移行軌道に押し上げる。この時点で、2回目の噴射で宇宙船は、最終的な目的の軌道の半径に近点を持つ2番目の楕円軌道に送られ、そこで3回目の噴射が行われ、宇宙船は目的の軌道に投入される。^[11]${\displaystyle r_{b}}$

双楕円軌道の移行では、ホーマン軌道の移行よりもエンジンの燃焼が1回多く必要で、一般的に移動時間も長くなりますが、選択された中間の長半径に応じて、最終長半径と初期長半径の比が11.94以上の場合、一部の双楕円軌道の移行では、ホーマン軌道の移行よりも総デルタvが少なくて済みます。^[12]

双楕円軌道のアイデアは、1934年にアリ・シュテルンフェルドによって初めて発表されました^{[要出典] 。[13]}

低推力エンジンは、慎重にタイミングを計ったエンジン点火により初期の円軌道を徐々に拡大することで、ホーマン遷移軌道に近似した軌道を実現することができる。これには、 2インパルス遷移軌道^[14]よりも大きな速度変化（デルタv）が必要であり、完了するまでに時間がかかる。

イオン スラスタなどのエンジンは、デルタvモデルで解析するのがより困難です。これらのエンジンは、推力が非常に低いと同時に、デルタv予算がはるかに高く、比推力がはるかに高く、燃料とエンジンの質量が小さくなります。2 回の燃焼によるホーマン トランスファー操作は、このような低い推力では実用的ではありません。この操作は主に燃料の使用を最適化しますが、この状況では燃料は比較的豊富にあります。

ミッションで低推力操作のみが計画されている場合、低推力だが効率が非常に高いエンジンを継続的に噴射すると、より高いデルタvが生成され、同時に従来の化学ロケット エンジンよりも少ない推進剤が使用される可能性があります。

半径を徐々に変えて一つの円軌道から別の円軌道へ移行するには、二つの速度の差と同じデルタvが必要です。 ^[14]このような操作では、2回の燃焼によるホーマン移行操作よりも多くのデルタvが必要ですが、短時間の高推力の適用ではなく、継続的な低推力でそれを行います。

使用される推進剤の質量は、操縦の効率と、それに使用されるハードウェアの効率を測ります。使用されるデルタV の合計は、操縦の効率のみを測ります。推力が低い傾向がある電気推進システムの場合、推進システムの高効率により、より効率的なホーマン操縦に比べて高いデルタ V が補われます。

電気推進または低推力エンジンを使用したトランスファー軌道は、ホーマントランスファー軌道のようなデルタvではなく、最終軌道に到達するためのトランスファー時間を最適化します。静止軌道の場合、最初の軌道は超同期に設定され、遠地点での速度の方向に継続的に推力をかけることで、トランスファー軌道は円形の静止軌道に変換されます。ただし、この方法では、軌道に注入される推力が低いため、達成に非常に長い時間がかかります。^[15]

1997年、惑星間輸送ネットワーク（ITN）として知られる軌道のセットが発表され、ホーマン遷移軌道よりもさらに推進力の低いデルタv （ただし、はるかに遅く長い）の異なる軌道間の経路を提供しました。 ^[16] 惑星間輸送ネットワークは、ホーマン遷移とは性質が異なります。ホーマン遷移は1つの大きな天体のみを想定していますが、惑星間輸送ネットワークはそうではありません。惑星間輸送ネットワークは、惑星の重力アシストを利用することで、推進力の低いデルタvの使用を実現できます。 ^[要出典]

• 双楕円転送
• デルタv予算
• 静止トランスファー軌道
• ハロー軌道
• リサージュ軌道
• 軌道一覧
• 軌道力学

• ベイト, RR; ミュラー, DD; ホワイト, JE (1971). 『天体力学の基礎』 ニューヨーク: Dover Publications. ISBN 978-0-486-60061-1。
• Battin, R.H. (1999).天体力学の数学と方法への入門. ワシントン DC: アメリカ航空宇宙学会ISBN 978-1-56347-342-5。
• ウォルター、ホーマン (1925)。Die Erreichbarkeit der Himmelskörper。ミュンヘン: R. オルデンブルク フェルラーク。ISBN 3-486-23106-5。
• ソーントン、スティーブン・T.; マリオン、ジェリー・B. (2003)。粒子とシステムの古典的ダイナミクス(第 5 版)。ブルックス・コール。ISBN 0-534-40896-6。
• ヴァラド、DA (2001)。『天体力学の基礎と応用』（第2版）。シュプリンガー。ISBN 978-0-7923-6903-5。

• 「軌道力学」。ロケットと宇宙技術。ロバート A. ブラウニグ。2012 年 2 月 4 日にオリジナルからアーカイブ。2005 年 8 月 17 日に取得。
• 「4. 惑星間軌道」。宇宙飛行の基礎。JPL: NASA。