標準重力パラメータ

天体の標準的な重力パラメータ μ は、その天体の重力定数Gと質量Mの積です。2 つの天体の場合、パラメータはG ( m ₁ + m ₂ )と表されるか、一方の天体がもう一方よりも大幅に大きい場合は GMと表されます。 $${\displaystyle \mu =G(M+m)\approx GM.}$$

太陽系のいくつかの物体では、 μの値はGやMよりも高い精度で知られています。標準重力パラメータのSI単位はm ³ ⋅ s ^{−2です。ただし、科学文献や宇宙船のナビゲーションでは、} km ³ ⋅ s ⁻²という単位が頻繁に使用されます。

軌道系の中心天体は、その質量 ( M ) が周回天体の質量( m )よりもはるかに大きい天体、つまりM ≫ mと定義できます。この近似は、太陽やほとんどの衛星を周回する惑星では標準であり、方程式を大幅に簡素化します。ニュートンの万有引力の法則によれば、天体間の距離がrの場合、小さい方の天体に働く力は次のようになります。 $${\displaystyle F={\frac {GMm}{r^{2}}}={\frac {\mu m}{r^{2}}}}$$

したがって、小天体の運動を予測するには、GとMの積のみが必要です。逆に、小天体の軌道の測定では、積μに関する情報のみが提供され、 GとMは別々に提供されません。重力定数Gを高精度で測定することは困難ですが、^[11]少なくとも太陽系内では、軌道を非常に正確に測定して、同様の精度でμを決定することができます。

中心物体の周りの円軌道の場合、重力によって生じる向心力はF = mv ² r ⁻¹です。 ここで、rは軌道半径、vは軌道速度、ωは角速度、Tは軌道周期です。 $${\displaystyle \mu =rv^{2}=r^{3}\omega ^{2}={\frac {4\pi^{2}r^{3}}{T^{2}}},}$$

これは楕円軌道にも一般化できます。 ここでa は長半径であり、これはケプラーの第 3 法則^{[壊れた錨]}です。 $${\displaystyle \mu ={\frac {4\pi ^{2}a^{3}}{T^{2}}},}$$

放物線軌道 の場合、rv ^{2 は定数で 2} μに等しくなります。楕円軌道と双曲軌道の場合、μの大きさはaの大きさの 2 倍とε の大きさの積で、ここでaは長半径、ε は特定の軌道エネルギーです。

より一般的なケースでは、天体が大きいものと小さいものの両方である必要はなく、例えば連星系のように、次のように定義します。

• ベクトルrは一方の物体と他方の物体の相対的な位置である。
• r、v 、および楕円軌道の場合は長半径 aがそれに応じて定義されます（したがってrは距離です）
• μ = Gm ₁ + Gm ₂ = μ ₁ + μ ₂、ここでm ₁とm ₂は 2 つの物体の質量です。

それから：

• 円軌道の場合、rv ² = r ³ ω ² = 4π ² r ³ / T ² = μ
• 楕円軌道の場合、4π ² a ³ / T ² = μ（a はAUで表され、Tは年数、M は太陽に対する総質量を表すので、a ³ / T ² = Mとなる）
• 放物線軌道の場合、rv ^2は定数であり、2μに等しい。
• 楕円軌道および双曲軌道の場合、μ は軌道長半径の 2 倍に特定の軌道エネルギーの負数を掛けた値です。ここで、特定の軌道エネルギーは、システムの全エネルギーを縮小質量で割った値として定義されます。

標準的な重力パラメータは、物体の表面上で振動する振り子を使用して次のように決定できます。 ^[12]

$${\displaystyle \mu \approx {\frac {4\pi ^{2}r^{2}L}{T^{2}}}}$$ ここで、rは重力体の半径、Lは振り子の長さ、T は振り子の周期です(近似の理由については、力学における振り子を参照してください)。

G M _{E は、}地球を中心天体とする重力パラメータであり、地心重力定数と呼ばれる。これは次の式に等しい。(3.986 004 418 ± 0.000 000 008 ) × 10 ¹⁴  m ³ ⋅s ⁻² . ^[3]

この定数の値は1950年代の宇宙飛行の開始とともに重要となり、1960年代にはこの定数を可能な限り正確に決定するために多大な努力が払われた。サギトフ（1969）は、1960年代の高精度測定から報告された値の範囲を引用しており、相対不確かさは10−6のオーダーである^。 [ ^13]

1970年代から1980年代にかけて、地球軌道上の人工衛星の数が増加し、高精度の測定がさらに容易になり、相対的な不確実性はさらに3桁減少し、約1992年時点では2 × 10−9 （5億分の1）であった。測定には、衛星から地球局までの距離を異なる時間に観測することが含まれており、レーダーやレーザー測距を使用^して高精度に得ることができる。^[14]

G M _{☉ は}、中心天体としての太陽の重力パラメータであり、太陽の太陽中心重力定数またはジオポテンシャルと呼ばれ、（1.327 124 400 42 ± 0.000 000 0001）× 10 ²⁰  m ³ ⋅s ⁻² . ^[15]

2015年時点で10 ⁻¹⁰未満と引用されているG M _☉の相対的不確実性は、 G M _Eの不確実性 よりも小さい。これは、 G M _☉が惑星間探査機の測距から導き出され、それらの距離測定の絶対誤差は地球衛星の測距測定値とほぼ同じであるのに対し、関係する絶対距離ははるかに大きいためである。^{[引用が必要]}

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