デルタv

デルタv (「速度の変化」とも呼ばれる) は、宇宙船の飛行力学で使用されるように、デルタビーと表記され、発音はデルタビーで、惑星や月からの打ち上げや着陸、または宇宙空間での軌道操作などの操作を実行するために必要な宇宙船の単位質量あたりの力積の尺度です。これは速度の単位を持つスカラーです。この文脈で使用される場合、これは前述の宇宙船の速度の物理的な変化と同じではありません。 ${\textstyle {\Delta v}}$

簡単な例としては、燃料を燃焼させて推力を得る従来のロケット推進宇宙船が挙げられます。このような宇宙船のデルタv は、宇宙船が搭載燃料をすべて燃焼させることで達成できる速度の変化になります。

デルタv は、ロケット エンジンなどの反動エンジンによって生成され、単位質量あたりの推力と燃焼時間に比例します。これは、ツィオルコフスキー ロケット方程式を通じて、特定の操作に必要な推進剤の質量を決定するために使用されます。

複数の操作の場合、デルタv は線形に合計されます。

惑星間ミッションの場合、デルタv はポークチョップ プロット上にプロットされることが多く、これは必要なミッション デルタv を打ち上げ日の関数として表示します。

$${\displaystyle \Delta {v}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\frac {|T(t)|}{m(t)}}\,dt}$$ どこ

• T ( t ) は時刻tにおける瞬間推力です。
• m ( t ) は 時刻tにおける瞬間質量です。

速度の変化は、運動量(衝撃)の変化を決定する場合など、多くの場合に役立ちます。ここで、 は運動量、m は質量です。 ${\displaystyle \Delta \mathbf {p} =m\Delta \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {p} }$

外力がない場合: は座標加速度です。 $${\displaystyle \Delta {v}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left|{\dot {v}}\right|\,dt}$$${\displaystyle {\dot {v}}}$

一定方向に推力が加えられると（⁠ヴ/|ヴ|⁠が定数の場合、これは次のように簡略化されます。 これは単に速度の変化 の大きさです。ただし、この関係は一般的な場合には当てはまりません。たとえば、一定の一方向の加速度が( t ₁ − t ₀ )/2後に逆転した場合、速度の差は 0 ですが、デルタv は逆転していない推力の場合と同じです。 $${\displaystyle \Delta {v}=|v_{1}-v_{0}|}$$

ロケットの場合、「外力がない」とは、重力と大気抵抗がないこと、およびノズルにかかる空気静圧がないことを意味するため、真空I _{sp は}ロケット方程式を介してロケットのデルタv容量を計算するために使用されます。さらに、惑星表面からの打ち上げを扱う場合、大気損失と重力抵抗のコストがデルタv予算に追加されます。^[1]

軌道操作は、スラスタを噴射して宇宙船に作用する反力を発生させること によって行われます。この力の大きさは

どこ

• v _exhはロケットフレーム内の排気ガスの速度である。
• ρは燃焼室への推進剤の流量である。

この力によって宇宙船が 加速すると、${\displaystyle {\dot {v}}}$

ここでmは宇宙船の質量である。

燃焼中、宇宙船の質量は燃料の使用により減少し、質量の時間微分は

ここで、力の方向、すなわちノズルの方向が燃焼中に固定されている場合、時刻t 1 に始まりt ₁に終わる燃焼のスラスタ力による速度増加は次のように 表される。${\displaystyle t_{0}\,}$

積分変数を時間tから宇宙船の質量mに変更すると、

燃料残量に依存せず一定であると 仮定すると、この関係は次のように積分される。${\displaystyle v_{\text{exh}}\,}$

これはツィオルコフスキーロケット方程式です。

例えば、打ち上げ質量の20%が燃料で、速度定数が2100m/s（ヒドラジンスラスタの典型的な値）の場合、反応制御システムの容量は ${\displaystyle v_{\text{exh}}}$$${\displaystyle \Delta {v}=2100\ \ln \left({\frac {1}{0.8}}\right)\,{\text{m/s}}=460\,{\text{m/s}}.}$$

が燃料残量の非定数関数である場合^[2]、 反応制御システムの容量は積分( 5 )によって計算される。 ${\displaystyle v_{\text{exh}}}$ $${\displaystyle v_{\text{exh}}=v_{\text{exh}}(m)}$$

スラスタ力によって引き起こされる加速度（2）は、宇宙船に影響を与える他の加速度（単位質量あたりの力）に追加される追加の加速度にすぎず、軌道は、このスラスタ力も含めた数値アルゴリズムで簡単に伝播できます。^[3]しかし、多くの目的、通常は研究や操縦の最適化では、図1に示すように、 （4 ）で与えられるaを使用して、衝動的な操縦で近似されます。このように、たとえば、速度ベクトルの瞬間的な変化によって 1つのケプラー軌道から別のケプラー軌道への移行として操縦をモデル化する「パッチ円錐」アプローチを使用できます。${\displaystyle \Delta {v}}$

衝撃的な操作によるこの近似は、ほとんどの場合、少なくとも化学推進が使用されている場合は非常に正確です。低推力システム、通常は電気推進システムの場合、この近似はそれほど正確ではありません。しかし、ノードの周りで数時間にわたってスラスタの燃焼期間が延長される電気推進を面外制御に使用する静止宇宙船の場合でも、この近似は妥当です。

デルタvは通常、ロケット エンジンの推力によって提供されますが、他のエンジンによっても生成できます。デルタvの時間変化率は、エンジンによって引き起こされる加速度の大きさ、つまり、車両の総質量あたりの推力です。実際の加速度ベクトルは、質量あたりの推力を重力ベクトルと、物体に作用するその他の力を表すベクトルに追加することで求められます。

追加された複雑さの考慮は設計プロセスの後の段階に延期されるため、必要な合計デルタv は、初期の設計決定の良い出発点となります。

ロケット方程式は、デルタvの増加に伴って必要な推進剤の量が劇的に増加することを示しています。したがって、現代の宇宙船の推進システムでは、与えられた宇宙飛行に必要な総デルタv を減らすことと、より大きなデルタv を生成できる宇宙船を設計することに多大な研究が注がれています。

推進システムによって提供される デルタv の増加は、次の方法で実現できます。

• ステージング
• 比推力の増加
• 推進剤の質量分率の改善

質量比は任意の燃焼に適用されるため、複数の操作を連続して実行すると、質量比は倍増します。

したがって、排気速度が固定されている場合、デルタv を合計できる ことが示されます。

m ₁、m ₂は操縦の質量比、v ₁、v _{2 は}最初と 2 番目の操縦の デルタvで 、V = v ₁ + v ₂、M = m ₁ m ₂です。 これは、2 つの操縦の合計に適用されるロケット方程式です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}m_{2}&=e^{V_{1}/V_{e}}e^{V_{2}/V_{e}}\\&=e^{\frac {V_{1}+V_{2}}{V_{e}}}\\&=e^{V/V_{e}}=M\end{aligned}}}$$

これは、デルタv を計算して単純に加算し、ミッション全体にわたって車両全体の質量比のみを計算することができることを意味するため便利です。したがって、乗算を必要とする質量比ではなく、デルタvが一般的に引用されます。

軌道を設計する際、デルタv予算は、必要な推進剤の量を示す優れた指標として使用されます。推進剤の使用量は、ロケット方程式に従ってデルタvの指数関数であり、排気速度にも依存します。

エネルギーは排気ガスで運び去られるため、初期軌道と最終軌道における機体の総エネルギーのみを考慮して、エネルギー保存則からデルタv要件を決定することはできません(下記も参照)。たとえば、ほとんどの宇宙船は、地球の自転表面速度を利用するために、発射地点の緯度にかなり近い傾斜角の軌道に打ち上げられます。ミッションに基づく理由により、宇宙船を異なる傾斜角の軌道に乗せる必要がある場合、最終軌道と初期軌道の特定の運動エネルギーと位置エネルギーは等しいにもかかわらず、かなりのデルタvが必要になります。

ロケットの推力が短いバーストで適用される場合、他の加速源は無視できるほど小さく、1回のバーストの速度変化の大きさは、デルタvで簡単に近似できます。適用される合計デルタv は、バースト間で速度の大きさと方向が重力によって変化しても (たとえば楕円軌道の場合)、個別のバーストで必要な各デルタvを加算するだけで簡単に求められます。

デルタvの計算例については、ホーマン遷移軌道、重力スリングショット、惑星間輸送ネットワークを参照してください。また、大きな推力によって重力抵抗が減少することも注目に値します。

デルタv は衛星を軌道上に維持するためにも必要であり、推進軌道維持操作で消費されます。ほとんどの衛星の推進剤は補充できないため、衛星に最初に搭載された推進剤の量によってその耐用年数が決まる可能性があります。

電力を考慮すると、速度の方向にデルタv を適用すると、単位デルタvあたりに得られる特定の軌道エネルギーは瞬間速度に等しいこと がわかります。これはオーバート効果と呼ばれます。

たとえば、楕円軌道上の衛星は、低速（つまり、高高度）よりも高速（つまり、低高度）の方が効率的にブーストされます。

もう 1 つの例としては、乗り物が惑星を通過するときに、最も接近した時点で推進剤を燃焼させると、遠く離れた地点よりも最終速度が大幅に上昇し、木星のように重力場が深い大きな惑星の場合はさらにその効果が高まります。

惑星の相対的な位置は時間とともに変化するため、打ち上げ日によって異なるデルタvが必要となる。時間に対して必要なデルタvをプロットした図は、ポークチョッププロットと呼ばれることもある。このような図は、打ち上げが使用される機体の能力の範囲内でのみ行われるべきであるため、打ち上げウィンドウを計算できるため有用である。 ^[4]

従来のロケットを使用したさまざまな軌道操作に必要なデルタv 。赤い矢印は、その特定の方向でオプションのエアロブレーキを実行できる場所を示し、黒い数字はどちらの方向にも適用されるデルタvをkm/sで示しています。^{[5] [6]}示されているよりも低いデルタvの移行が達成されることはよくありますが、移行ウィンドウがまれであったり、大幅に長い時間がかかります。軌道力学§惑星間輸送ネットワークとファジー軌道を参照してください。

C3

脱出軌道

地理

静止軌道

ＧＴＯ

静止トランスファー軌道

L4/5

地球–月L ₄ L ₅ ラグランジアン点

レオ

低軌道

例えば、ソユーズ宇宙船は2段階でISSから離脱します。まず、宇宙ステーションから安全に分離するためには2.18m/sのデルタvが必要です。次に、再突入のためにさらに128m/sが必要です。^[7]