比位置エネルギー

質量Mの質点から距離xにある重力ポテンシャル Vは、単位質量を無限遠からその点まで運ぶために外部のエージェントが行う必要がある仕事Wとして定義できます。^{[1] [2] [3] [4]}

$${\displaystyle V(\mathbf {x} )={\frac {W}{m}}={\frac {1}{m}}\int _{\infty }^{x}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} ={\frac {1}{m}}\int _{\infty }^{x}{\frac {GmM}{x^{2}}}dx=-{\frac {GM}{x}},}$$ ここで、Gは重力定数、F は重力です。積GM は標準的な重力パラメータであり、 GまたはM を個別に知るよりも高い精度で知られていることがよくあります。ポテンシャルは質量あたりのエネルギーの単位を持ちます (例: MKSシステムでは J/kg)。慣例により、定義されている場合は常に負の値になり、x が無限大に近づくにつれてゼロに近づきます。

重力場、つまり質量のある物体の周囲の空間における小物体の加速度は、重力ポテンシャルの負の勾配です。したがって、負の勾配が負であれば、質量のある物体に向かう正の加速度が生じます。ポテンシャルには角度成分がないため、その勾配は、 x は質量点から小物体に向かう 長さxのベクトル、は質量点から小物体に向かう単位ベクトルです。したがって、加速度の大きさは、反比例の法則に従います。 $${\displaystyle \mathbf {a} =-{\frac {GM}{x^{3}}}\mathbf {x} =-{\frac {GM}{x^{2}}}{\hat {\ mathbf {x} }},}$$${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$$${\displaystyle \|\mathbf {a} \|={\frac {GM}{x^{2}}}.}$$

質量分布に関連するポテンシャルは、質点のポテンシャルの重ね合わせです。質量分布が質点の有限集合であり、質点が点 x ₁、...、x _nに位置し、質量がm ₁、...、m _nである場合、点 x における分布のポテンシャルは $${\displaystyle V(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}-{\frac {Gm_{i}}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}\|}}.}$$

質量分布が3次元ユークリッド空間R ^{3上の質量}測度 dmとして与えられる場合、ポテンシャルは- G /| r |とdmの畳み込みです。^[要出典]適切な場合^[要説明]これは積分に等しくなります 。 ここで| x − r |は点xとrの間の距離です。rでの分布の密度を表す関数ρ (r)があり、 dm (r) = ρ (r) dv (r) （dv (r)はユークリッド体積要素）である場合、重力ポテンシャルは体積積分です。$${\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{\|\mathbf {x} -\mathbf {r} \|}}\,dm(\mathbf {r} ),}$$ $${\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{\|\mathbf {x} -\mathbf {r} \|}}\,\rho (\mathbf {r} )dv(\mathbf {r} ).}$$

V が連続質量分布ρ (r)から生じるポテンシャル関数である場合、ρ はラプラス演算子Δ を使用して復元できます。 これは、 ρが連続し、有界集合の外側でゼロになる たびに点ごとに成立します。一般に、ラプラス演算子を分布の意味でとれば、質量測度dm も同様の方法で復元できます。結果として、重力ポテンシャルはポアソン方程式を満たします。3変数ラプラス方程式のグリーン関数とニュートンポテンシャルも参照してください。 $${\displaystyle \rho (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi G}}\Delta V(\mathbf {x} ).}$$