普遍的な変数定式化

軌道力学において、普遍変数定式化は二体 ケプラー問題を解くのに用いられる方法である。これはケプラー方程式の一般化された形式であり、楕円軌道だけでなく、惑星軌道から離脱する宇宙船によく見られる放物線軌道や双曲軌道にも適用できるように拡張されている。また、太陽系の小天体が大質量惑星の近傍から放出される際にも適用可能であり、その過程で近似二体軌道は離心率が大きく変化する可能性があり、ほとんどの場合、e ≥ 1 となる。 

軌道力学における一般的な問題は次のとおりです。軌道上の物体と固定された元の時刻が与えられた場合、その後の時刻における物体の位置を見つけます。離心率が十分に小さい楕円軌道の場合、ニュートン法などの方法でケプラーの方程式を解くと優れた結果が得られます。ただし、軌道が脱出軌道に近づくにつれて、離心率がますます高くなり、数値反復の収束が使い物にならないほど遅くなったり、 e ≥ 1ではまったく収束しなくなったりすることがあります。^{[1] [2]}${\displaystyle \t_{\mathsf {o}}\ ,}$${\displaystyle \t~.}$ 

ケプラーの方程式の従来の形式は、その通常の形式が正弦と余弦に特化しているため、虚数に対応するための特別な調整なしに放物線軌道や双曲軌道に適用することはできないことに注意してください。脱出軌道では、代わりに  sinh  と  cosh   (双曲関数) を使用します。

ケプラーの方程式に似た方程式は放物線軌道や双曲軌道に対しても導出できますが、離心率異常 の代わりに新しい独立変数を導入し、軌道の離心率に関係なく解ける単一の方程式を持つ方が便利です。新しい変数は、次の微分方程式によって定義されます。 ${\displaystyle \E\,}$${\displaystyle \s\}$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} s}{\ \operatorname {d} t\ }}={\frac {\ 1\ }{r}}}$

ここで、は引力の中心までの時間依存のスカラー距離です。${\displaystyle \r\equivr(t)\}$

(以下のすべての式において、斜体のスカラー と太字のベクトルの違いに注意してください。) ${\displaystyle \r\,}$ ${\displaystyle \\mathbf {r}\,}$

基本方程式 を正規化できる

${\displaystyle \ {\frac {\ \operatorname {d} ^{2}\mathbf {r} \ }{\ \operatorname {d} t^{2}\ }}+\mu {\frac {\ \mathbf {r} \ }{~r^{3}\ }}=\mathbf {0} \ ,\quad }$

ここで、システムの重力スケーリング定数は、${\displaystyle ~~\mu \equiv G\left(m_{1}+m_{2}\right)~~}$

時刻から時刻への変数の変化を適用することにより、 ^[2]が得られる。${\displaystyle \t\}$${\displaystyle \s\}$

${\displaystyle {\frac {\ \operatorname {d} ^{2}\mathbf {r} \ }{~\operatorname {d} s^{2}\ }}+\alpha \ \mathbf {r} =- \mathbf {P} \ }$

ここで は未確定の定数ベクトルであり、は軌道エネルギーであり、次のように定義される。 ${\displaystyle \\mathbf {P}\}$${\displaystyle \\alpha\}$

${\displaystyle \alpha \equiv {\frac {\ \mu \ }{a}}~.}$

この方程式は、物理学と数学の両方でよく知られている調和振動子の方程式と同じですが、未知の定数ベクトルがやや不便です。再び導関数をとると、定数ベクトルが除去されますが、3次微分方程式が得られます。 ${\displaystyle \\mathbf {P}\,}$

${\displaystyle \ {\frac {\ \operatorname {d} ^{3}\mathbf {r} \ }{~\operatorname {d} s^{3}\ }}+\alpha {\frac {\ \operatorname {d} \mathbf {r} \ }{\ \演算子名 {d} s\ }}=\mathbf {0} \ }$

^{この微分方程式[2]}の解の族は、便宜上、3つの関数とで記号的に表される。ここで、関数はStumpff関数と呼ばれ、正弦級数と余弦級数の切断された一般化である。変数変換方程式は、スカラー積分方程式を与える。 ${\displaystyle \s\c_{1}\!\!\left(\\alphas^{2}\\right)\,\}$ ${\displaystyle \s^{2}c_{2}\!\!\left(\\alphas^{2}\\right)\ ,}$${\displaystyle \s^{3}c_{3}\!\!\left(\\alphas^{2}\\right)\;\}$${\displaystyle \ c_{k}\!(x)\ ,}$${\displaystyle \ {\tfrac {\operatorname {d} t}{\ \operatorname {d} s\ }}=r\ }$

${\displaystyle \\int_{{\tilde {t}}=t_{\mathsf {o}}}^{t}\operatorname {d} {\tilde {t}}=\int_{{\tilde {r}}=r_{\mathsf {o}},\ {\tilde {s}}=0}^{r,\ s}~{\tilde {r}}(\ {\tilde {s}}\ )~\operatorname {d} {\tilde {s}}~.}$

広範囲な代数計算と後退代入を行った後、その解は^{[2]式6.9.26 のようになる。}

${\displaystyle \ t-t_{\mathsf {o}}=r_{\mathsf {o}}\ s\ c_{1}\!\!\left(\ \alpha s^{2}\ \right)+r_{\mathsf {o}}{\frac {~\operatorname {d} r_{\mathsf {o}}\ }{\ \operatorname {d} t\ }}\ s^{2}c_{2}\!\!\left(\ \alpha s^{2}\ \right)+\mu \ s^{3}c_{3}\!\!\left(\ \alpha s^{2}\ \right)\ }$

これはケプラーの方程式の普遍変数定式化です。

閉じた解析解は存在しませんが、このケプラー方程式の普遍変数形式は、ニュートン法やラゲール法などの根探索アルゴリズムを使用して、与えられた時間について数値的に解くことができます。このようにして得られたの値は、現在の位置と速度を見つけるために必要なおよび関数とおよび関数を計算するために使用されます。 ${\displaystyle \ s\ ,}$${\displaystyle \ t\ ~.}$${\displaystyle \ s\ }$${\displaystyle \ f\ }$${\displaystyle \ g\ }$${\displaystyle \ {\dot {f}}\ }$${\displaystyle \ {\dot {g}}\ }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\ f(s)&=1-\left({\frac {\ \mu \ }{~r_{\mathsf {o}}\ }}\right)s^{2}c_{2}\!\!\left(\ \alpha s^{2}\ \right)\ ,\\[1.5ex]\ g(s)&=t-t_{\mathsf {o}}-\mu \ s^{3}c_{3}\!\!\left(\ \alpha s^{2}\ \right)\ ,\\[1.5ex]\ {\dot {f}}(s)\equiv {\frac {\ \operatorname {d} f\ }{\ \operatorname {d} t\ }}&=-\left({\frac {\ \mu \ }{\ r_{\mathsf {o}}r\ }}\right)s\ c_{1}\!\!\left(\ \alpha s^{2}\ \right)\ ,\\[1.5ex]\ {\dot {g}}(s)\equiv {\frac {\ \operatorname {d} g\ }{\ \operatorname {d} t\ }}&=1-\left({\frac {\ \mu \ }{r}}\right)\ s^{2}c_{2}\!\!\left(\ \alpha s^{2}\ \right)~.\\[-1ex]\end{aligned}}}$

関数と関数の値は、の時点での物体の位置を決定します。 ${\displaystyle \ f\ }$${\displaystyle \ g\ }$${\displaystyle \ t\ }$

$${\displaystyle \ \mathbf {r} (t)=\mathbf {r} _{\mathsf {o}}\ f(s)+\mathbf {v} _{\mathsf {o}}\ g(s)\ }$$

さらに、時刻における物体の速度は、次のようにしておよびを使用して求めることができます。 ${\displaystyle \ t\ }$${\displaystyle \ {\dot {f}}(s)\ }$${\displaystyle \ {\dot {g}}(s)\ }$

${\displaystyle \ \mathbf {v} (t)=\mathbf {r} _{\mathsf {o}}\ {\dot {f}}(s)+\mathbf {v} _{\mathsf {o}}\ {\dot {g}}(s)\ }$

ここで、およびはそれぞれ時刻およびにおける位置および速度ベクトルであり、 ${\displaystyle \ \mathbf {r} (t)\ }$${\displaystyle \ \mathbf {v} (t)\ }$${\displaystyle \ t\ ,}$${\displaystyle \ \mathbf {r} _{\mathsf {o}}\ }$

${\displaystyle \ \mathbf {v} _{\mathsf {o}}\ }$任意の初期時刻における位置と速度${\displaystyle \ t_{\mathsf {o}}~.}$