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数理論理学において、抽象代数論理とは、 よく知られているリンデンバウム・タルスキー代数の抽象化として生じる演繹システムの代数化、および結果として得られる代数が論理システムとどのように関連しているかを研究する学問である。[ 1 ]
この種の典型的な関連性、すなわち代数論理の歴史的起源の根幹を成し、その後に発展したすべての下位理論の中核をなす関連性は、ブール代数と古典命題論理との関連性である。この関連性は1850年代にジョージ・ブールによって発見され、その後1870年代から1890年代にかけて、特にC・S・パースとエルンスト・シュレーダーによってさらに発展・洗練された。この研究は、1930年代にアルフレッド・タルスキとその弟子アドルフ・リンデンバウムによって考案されたリンデンバウム＝タルスキ代数で頂点に達した。その後、タルスキと彼のアメリカ人学生たち（ドン・ピゴッツィもその一人）は、円筒代数を発見し、その表現可能なインスタンスは古典的な一階述語論理のすべてを代数化し、関係代数を復活させ、そのモデルにはよく知られたすべての公理的集合論が含まれるようになった。
古典代数論理学は、1960年頃までの代数論理学におけるすべての研究を包含し、特定の論理的研究にとって特に重要な特定の論理体系を「代数化」するために用いられる特定の代数のクラスの性質を研究した。一般に、論理体系に関連付けられた代数は、束の一種であり、束の補元演算以外の1つ以上の単項演算によって拡張される可能性があることが判明した。
抽象代数論理は、1950年代から60年代にかけてポーランドでヘレナ・ラシオワ、ロマン・シコルスキ、イェジー・ウォシュ、ロマン・スシュコ（ほんの一例に過ぎない）らの研究によって出現した、代数論理の現代的な下位分野である。1980年代には、ポーランドの論理学者ヤヌシュ・チェラコフスキ、オランダの論理学者ウィム・ブロック、アメリカの論理学者ドン・ピゴッツィの画期的な著作によって成熟期を迎えた。抽象代数論理の焦点は、特定の論理体系に関連する特定のクラスの代数（古典代数論理の焦点）の研究から、以下の研究へと移行した。
古典代数論理から抽象代数論理への移行は、「現代」または抽象代数（すなわち、群、環、加群、体などの研究）から普遍代数（特定の抽象的性質を満たす任意の類似性タイプ（代数的シグネチャ）の代数のクラスの研究）への移行に例えることができる。
抽象代数論理の開発における2つの主な動機は、上記の（1）と（3）に密接に関連している。（1）に関して言えば、移行における重要な一歩はラシオワの研究によって踏み出された。彼女の目標は、古典的な命題論理やブール代数、その他いくつかの密接に関連する論理体系で成り立つことが知られている結果や方法を抽象化し、それらの結果や方法をはるかに幅広い命題論理に適用できるようにすることである。
（３）は、古典的な命題論理と一階述語論理のよく知られた演繹定理がさまざまな論理体系でどのような形をとるかを探求したブロックとピゴッツィの共同研究に大きく負っている。彼らは、演繹定理のこれらのさまざまな形を、これらの論理体系の代数的対応物の性質と関連付けた。
抽象代数論理は、代数論理の確立された分野となり、多くの深遠で興味深い成果を生み出してきました。これらの成果は、これまで個別にしか説明されていなかった、あるいは謎に包まれていた様々な論理体系の多くの性質を解明しています。抽象代数論理の最も重要な成果は、命題論理を階層構造に分類したことでしょう。これは抽象代数階層、あるいはライプニッツ階層と呼ばれ、その階層の各レベルは、特定のレベルの論理とそれに関連する代数クラスとの結びつきの強さを概ね反映しています。この階層における論理の位置によって、既知の代数的手法を用いてその論理を研究できる範囲が決まります。論理がこの階層のいずれかのレベルに割り当てられると、過去30年以上にわたって蓄積されてきた、同じ階層に位置する代数を支配する強力な成果群を利用できるようになります。
「一般代数論理」と「普遍代数論理」という類似の用語は、ハイナール・アンドレーカ、イシュトヴァーン・ネメティらを含むハンガリー学派のアプローチを指す。