ホルダーの状態

数学では、関数がヘルダー条件を満たす、または${\displaystyle \alpha }$実数値関数または複素数値関数の場合、ヘルダー連続または単にヘルダー連続${\displaystyle f}$の上${\displaystyle d}$次元ユークリッド空間、すなわち${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} }$または${\displaystyle \mathbb {C} }$（どこ$\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{d}}$または${\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}$) 実定数が存在する場合${\displaystyle C\geq 0}$、${\displaystyle \alpha >0}$、したがって $${\displaystyle |f(x)-f(y)|\leq C\|xy\|^{\alpha }}$$ すべての人々のために${\displaystyle x,y\in \Omega }$^{[ 1 ]}より一般的には、この条件は任意の2つの距離空間 間の関数に対して定式化できる。${\displaystyle \alpha }$は、ヘルダー条件の指数と呼ばれます。条件を満たす区間上の関数は、${\displaystyle \alpha >1}$は定数です（下記の証明を参照）。${\displaystyle \alpha =1}$すると、関数はリプシッツ条件を満たす。任意の${\displaystyle \alpha >0}$この条件は、関数が一様連続であることを意味します。この条件はオットー・ヘルダーにちなんで名付けられました。${\displaystyle \alpha =0}$関数は単純に有界です（任意の2つの値）${\displaystyle f}$テイクは最大${\displaystyle C}$離れて）。

実数直線の閉区間[ a , b ] ( a < b)で定義された関数について、以下の包含関係の連鎖があります。

リプシッツ連続⊂${\displaystyle \alpha }$- ヘルダー連続⊂一様連続⊂連続、

ここで、0 < α ≤ 1 である。

ヘルダー条件を満たす関数からなるヘルダー空間は、偏微分方程式の解法に関連する関数解析の分野や力学系において基本となる。ヘルダー空間C ^{k , α} (Ω)は、Ωがあるユークリッド空間の開部分集合、k ≥ 0 が整数である場合、Ω 上の関数で、 k次までの連続微分を持ち、 k次偏微分が指数αのヘルダー連続となるような関数からなる。ただし、0 < α ≤ 1である。これは局所凸位相ベクトル空間である。ヘルダー係数が $${\displaystyle \left|f\right|_{C^{0,\alpha }}=\sup _{x,y\in \Omega ,x\neq y}{\frac {|f(x)-f(y)|}{\left\|xy\right\|^{\alpha }}},}$$ が有限である場合、関数fはΩにおいて指数αを持つ (一様) ヘルダー連続であると言われます。この場合、ヘルダー係数は半ノルムとして機能します。ヘルダー係数がΩのコンパクト部分集合上で単に有界である場合、関数fはΩにおいて指数αを持つ局所ヘルダー連続であると言われます。

関数fとそのk階までの導関数が Ω の閉包上で有界である場合、ヘルダー空間は${\displaystyle C^{k,\alpha }({\overline {\Omega }})}$規範を割り当てることができる $${\displaystyle \left\|f\right\|_{C^{k,\alpha }}=\left\|f\right\|_{C^{k}}+\max _{|\beta |=k}\left|D^{\beta }f\right|_{C^{0,\alpha }}}$$ ここでβは複数の指数にわたって変化し、 $${\displaystyle \|f\|_{C^{k}}=\max _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }\left|D^{\beta }f(x)\right|.}$$

これらのセミノルムとノルムは、しばしば単に${\displaystyle \left|f\right|_{0,\alpha }}$そして${\displaystyle \left\|f\right\|_{k,\alpha }}$またはまた${\displaystyle \left|f\right|_{0,\alpha ,\Omega }\;}$そして${\displaystyle \left\|f\right\|_{k,\alpha ,\Omega }}$fの定義域への依存性を強調するため。Ωが開集合かつ有界である場合、${\displaystyle C^{k,\alpha }({\overline {\Omega }})}$はノルムに関してバナッハ空間である。${\displaystyle \|\cdot \|_{C^{k,\alpha }}}$。

Ω をあるユークリッド空間（あるいはより一般的には、任意の全有界距離空間）の有界部分集合とし、0 < α < β ≤ 1 を 2 つのヘルダー指数とする。このとき、対応するヘルダー空間の包含写像が自明に存在する。 $${\displaystyle C^{0,\beta }(\Omega )\to C^{0,\alpha }(\Omega ),}$$ これは連続である。なぜなら、ヘルダーノルムの定義により、次のようになるからである。 $${\displaystyle \forall f\in C^{0,\beta }(\Omega ):\qquad |f|_{0,\alpha ,\Omega }\leq \mathrm {diam} (\Omega )^{\beta -\alpha }|f|_{0,\beta ,\Omega }.}$$

さらに、この包含関係はコンパクトであり、‖ · ‖ _0,βノルムで有界な集合は‖ · ‖ _0,αノルムで相対的にコンパクトであることを意味します。これは、アスコリ・アルツェラの定理の直接的な結果です。実際、( u _n )をC ^0,β (Ω)の有界列とします。アスコリ・アルツェラの定理のおかげで、一般性を失うことなくu _n → u が一様に変化すると仮定でき、またu = 0 と仮定することもできます。すると、 $${\displaystyle \left|u_{n}-u\right|_{0,\alpha }=\left|u_{n}\right|_{0,\alpha }\to 0,}$$ なぜなら $$\displaystyle {\frac {|u_{n}(x)-u_{n}(y)|}{|xy|^{\alpha }}}=\left({\frac {|u_{n}(x)-u_{n}(y)|}{|xy|^{\beta }}}\right)^{\frac {\alpha }{\beta }}\left|u_{n}(x)-u_{n}(y)\right|^{1-{\frac {\alpha }{\beta }}}\leq |u_{n}|_{0,\beta }^{\frac {\alpha }{\beta }}\left(2\|u_{n}\|_{\infty }\right)^{1-{\frac {\alpha }{\beta }}}=o(1).}$$

• 0 < α ≤ β ≤ 1の場合、すべて${\displaystyle C^{0,\beta }({\overline {\Omega }})}$有界集合Ω上のヘルダー連続関数もまた${\displaystyle C^{0,\alpha }({\overline {\Omega }})}$ヘルダー連続。これにはβ = 1も含まれるため、有界集合上のすべてのリプシッツ連続関数はC ^{0, α}ヘルダー連続でもある。
• [ 0, 1 ]上で定義された関数f ( x ) = xβ ( ^β ≤ 1 )は、 0 < α ≤ βではC0 ^{, α}ヘルダー連続であるが、α > βでは連続ではない関数の典型的な例となる。さらに、 f を同様に定義すると、${\displaystyle [0,\infty )}$α = βの場合のみC ^0,αヘルダー連続になります。
• 関数が${\displaystyle f}$は${\displaystyle \alpha }$–区間上で連続するヘルダーと${\displaystyle \alpha >1,}$それから${\displaystyle f}$定数である。

• 一様連続関数の中には、任意のαに対してα –ヘルダー連続ではないものもある。例えば、[ 0, 1/2 ]上でf (0) = 0、それ以外の場合はf ( x ) = 1/log( x )と定義される関数は連続であり、したがってハイネ・カントールの定理により一様連続である。しかし、この関数はどの次数においてもヘルダー条件を満たさない。
• ワイエルシュトラス関数は次のように定義されます。$${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}\cos \left(b^{n}\pi x\right),}$$ どこ${\displaystyle 0<a<1,b}$は整数です。${\displaystyle b\geq 2}$そして${\displaystyle ab>1+{\tfrac {3\pi }{2}},}$α -Hölder連続である^{[ 2 ]}$${\displaystyle \alpha =-{\frac {\log(a)}{\log(b)}}.}$$
• カントール関数は任意の指数に対してヘルダー連続である。${\displaystyle \alpha \leq {\tfrac {\log 2}{\log 3}},}$そして、それより大きいものはない。（その数）${\displaystyle {\tfrac {\log 2}{\log 3}}}$は標準カントール集合のハウスドルフ次元です。）前者の場合、定義の不等式は定数C := 2で成り立ちます。 
• [ 0, 1 ]から正方形[0, 1] ²へのペアノ曲線は1/ 2-ヘルダー連続となるように構成できる。${\displaystyle \alpha >{\tfrac {1}{2}}}$のイメージ${\displaystyle \alpha }$-単位区間から正方形までのヘルダー連続関数は正方形を埋めることができません。
• ブラウン運動のサンプル経路は、ほぼ確実に局所的にあらゆる場所に存在する。${\displaystyle \alpha }$-すべてのホルダー${\displaystyle \alpha <{\tfrac {1}{2}}}$。
• 局所的に積分可能で、かつその積分が適切な増大条件を満たす関数は、ヘルダー連続でもある。例えば、$${\displaystyle u_{x,r}={\frac {1}{|B_{r}|}}\int _{B_{r}(x)}u(y)\,dy}$$そしてuは満たす$${\displaystyle \int _{B_{r}(x)}\left|u(y)-u_{x,r}\right|^{2}dy\leq Cr^{n+2\alpha },}$$このとき、uは指数αのヘルダー連続である。^{[ 3 ]}
• 距離に関して一定の速度で振動が減衰する関数は、減衰率によって決まる指数を持つヘルダー連続である。例えば、$${\displaystyle w(u,x_{0},r)=\sup _{B_{r}(x_{0})}u-\inf _{B_{r}(x_{0})}u}$$ある関数u ( x )は以下を満たす$${\displaystyle w\left(u,x_{0},{\tfrac {r}{2}}\right)\leq \lambda w\left(u,x_{0},r\right)}$$0 < λ < 1を満たす固定されたλと、十分に小さいrの値すべてに対して、uはヘルダー連続である。
• ソボレフ空間の関数は、空間次元がソボレフ空間の指数よりも小さい場合、モレーの不等式を用いて適切なヘルダー空間に埋め込むことができる。正確には、${\displaystyle n<p\leq \infty }$すると、 pとnのみに依存する定数Cが存在し、以下のようになる。$${\displaystyle \forall u\in C^{1}(\mathbf {R} ^{n})\cap L^{p}(\mathbf {R} ^{n}):\qquad \|u\|_{C^{0,\gamma }(\mathbf {R} ^{n})}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})},}$$どこ${\displaystyle \gamma =1-{\tfrac {n}{p}}.}$したがって、u ∈ W ^{1, p} ( R ⁿ )の場合、uは実際には指数γのヘルダー連続であり、測度 0 の集合上で再定義される可能性があります。

• 無限次元ヒルベルト空間Hの閉じた加法部分群で、α > 1/2のα –ヘルダー連続弧で接続されているものは、線形部分空間である。 1/2 –ヘルダー連続弧で接続されている、線形部分空間ではないHの閉じた加法部分群も存在する。例として、ヒルベルト空間L ² ( R , R )の加法部分群L ² ( R , Z )が挙げられる。
• 距離空間X上の任意のα –ヘルダー連続関数fは、関数列( f _k )によってリプシッツ近似が可能であり、 f _kはk – リプシッツであり、$${\displaystyle \left\|f-f_{k}\right\|_{\infty ,X}=O\left(k^{-{\frac {\alpha }{1-\alpha }}}\right).}$$逆に、そのようなリプシッツ関数の列( f _k )は、 α –ヘルダー連続一様極限fに収束します。
• ノルム空間Eの部分集合X上の任意のα –ヘルダー関数fは、空間全体への一様連続拡張を持ち、その拡張は同じ定数Cおよび同じ指数αを持つヘルダー連続である。そのような拡張の中で最大のものは次のとおりである。$${\displaystyle f^{*}(x):=\inf _{y\in X}\left\{f(y)+C|x-y|^{\alpha }\right\}.}$$
• どんなイメージでも${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$α –ヘルダー関数の下では、最大でもハウスドルフ次元を持つ${\displaystyle {\tfrac {\dim _{H}(U)}{\alpha }}}$、 どこ${\displaystyle \dim _{H}(U)}$はハウスドルフ次元である${\displaystyle U}$。
• スペース${\displaystyle C^{0,\alpha }(\Omega ),0<\alpha \leq 1}$分離できない。
• 埋め込み${\displaystyle C^{0,\beta }(\Omega )\subset C^{0,\alpha }(\Omega ),0<\alpha <\beta \leq 1}$密度が高くない。
• もし${\displaystyle f(t)}$そして${\displaystyle g(t)}$滑らかな弧 L 上で満たされる${\displaystyle H(\mu )}$そして${\displaystyle H(\nu )}$それぞれの条件、次に関数${\displaystyle f(t)+g(t)}$そして${\displaystyle f(t)g(t)}$満たす${\displaystyle H(\alpha )}$Lの条件、${\displaystyle \alpha =\min\{\mu ,\nu \}}$。

• p変動