ブラウン運動

確率論において、ブラウン運動過程はウィーナー過程（またはブラウン運動）と密接に関連する確率過程である。ブラウン運動過程の実現は、本質的には、特定の条件を満たすように選択されたウィーナー過程の実現にすぎない。特に、ブラウン運動過程は、正になるように条件付けされ、時刻 1 で値 0 を取るウィーナー過程である。あるいは、正になるように条件付けされたブラウン運動過程である。BEP が重要である理由は、他の理由の中でも、いくつかの条件付き関数中心極限定理の極限過程として自然に生じるためである。^[1]

ブラウン運動過程は、正になるように条件付けされ、時刻 1 で値 0 を取るウィーナー過程(またはブラウン運動)です。あるいは、正になるように条件付けされた ブラウン橋過程です。${\displaystyle e}$

ブラウン運動過程W（ポール・レヴィによるもので、伊藤清とヘンリー・P・マッキーン・ジュニアによって指摘された^[2] ）によるブラウン運動の逸脱の別の表現は、時刻1より前にWがゼロに達する最後の時間と、時刻1より後にブラウン運動がゼロに達する最初の時間で表現される：^[2]${\displaystyle e}$${\displaystyle \tau_{-}}$${\displaystyle \tau_{+}}$${\displaystyle W}$

${\displaystyle \{e(t):\ {0\leq t\leq 1}\}\ {\stackrel {d}{=}}\ \left\{{\frac {|W((1-t)\tau _{-}+t\tau _{+})|}{\sqrt {\tau _{+}-\tau _{-}}}}:\ 0\leq t\leq 1\right\}}.}$

をブラウン橋過程が[0, 1]で最小値に達する時間とする。Vervaat (1979)は、 ${\displaystyle \tau_{m}}$${\displaystyle W_{0}}$

${\displaystyle \{e(t):\ {0\leq t\leq 1}\}\ {\stackrel {d}{=}}\ \left\{W_{0}(\tau _{m}+t{\bmod {1}})-W_{0}(\tau _{m}):\ 0\leq t\leq 1\right\}}.}$

Vervaat によるブラウン運動の表現は、 のさまざまな関数にいくつかの影響を与えます。特に、 ${\displaystyle e}$

${\displaystyle M_{+}\equiv \sup _{0\leq t\leq 1}e(t)\ {\stackrel {d}{=}}\ \sup _{0\leq t\leq 1}W_{0}(t)-\inf _{0\leq t\leq 1}W_{0}(t),}$

（これは明示的な計算によっても導き出すことができる^{[3] [4]}）そして

${\displaystyle \int _{0}^{1}e(t)\,dt\ {\stackrel {d}{=}}\ \int _{0}^{1}W_{0}(t)\,dt-\inf _{0\leq t\leq 1}W_{0}(t).}$

次の結果が成り立つ：^[5]

${\displaystyle EM_{+}={\sqrt {\pi /2}}\approx 1.25331\ldots ,\,}$

そして、分布と密度の正確な形から、次の2次モーメントと分散の値が計算できる。^[5]

${\displaystyle EM_{+}^{2}\approx 1.64493\ldots \ ,\ \ \operatorname {Var} (M_{+})\approx 0.0741337\ldots .}$

Groeneboom (1989) の補題 4.2 は、(密度) のラプラス変換の式を示しています。この面積積分の分布の特定の二重変換の式は、Louchard (1984) によって与えられています。 ${\displaystyle \int _{0}^{1}e(t)\,dt}$

Groeneboom (1983) と Pitman (1983) は、ブラウン運動 の分解をiid ブラウン運動と の最小凹メジャーラント (または最大凸マイナーラント) で示しています。 ${\displaystyle W}$${\displaystyle W}$

ブラウン運動の伊藤の一般理論と伊藤 ポワソンの運動過程の紹介については、Revuz and Yor (1994)、第 XII 章を参照してください。

ブラウン運動の遠足エリア

${\displaystyle A_{+}\equiv \int _{0}^{1}e(t)\,dt}$

連結グラフの列挙、組合せ論における他の多くの問題に関連して生じる。例えば^{[6] [7] [8] [9] [10]}、コホモロジー理論における特定の多様体のベッチ数の極限分布^[11]を参照。Takacs (1991a)は、密度が ${\displaystyle A_{+}}$

${\displaystyle f_{A_{+}}(x)={\frac {2{\sqrt {6}}}{x^{2}}}\sum _{j=1}^{\infty }v_{j}^{2/3}e^{-v_{j}}U\left(-{\frac {5}{6}},{\frac {4}{3}};v_{j}\right)\ \ {\text{ }}\ \ v_{j}={\frac {2|a_{j}|^{3}}{27x^{2}}}}$

ここで、はエアリー関数の零点であり、は合流型超幾何関数である。Janson とLouchard（2007）は 、${\displaystyle a_{j}}$${\displaystyle U}$

${\displaystyle f_{A_{+}}(x)\sim {\frac {72{\sqrt {6}}}{\sqrt {\pi }}}x^{2}e^{-6x^{2}}\ \ {\text{ as }}\ \ x\rightarrow \infty ,}$

そして

${\displaystyle P(A_{+}>x)\sim {\frac {6{\sqrt {6}}}{\sqrt {\pi }}}xe^{-6x^{2}}\ \ {\text{ as }}\ \ x\rightarrow \infty .}$

どちらの場合も、高次の展開も得られます。

ジャンソン（2007）は、モーメントと他の多くの領域関数を与えている。特に、 ${\displaystyle A_{+}}$

${\displaystyle E(A_{+})={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}},\ \ E(A_{+}^{2})={\frac {5}{12}}\approx 0.416666\ldots ,\ \ \operatorname {Var} (A_{+})={\frac {5}{12}}-{\frac {\pi }{8}}\approx .0239675\ldots \ .}$

^{ブラウン運動は、待ち行列問題[12]、} 鉄道交通^{[13] 、 [14]}、ランダム根付き二分木の高さ^[15]などにも関連して発生します。

• ブラウン橋
• ブラウン運動
• 反射ブラウン運動
• 歪んだブラウン運動

• Chung, KL (1975). 「ブラウン運動の極大値」アメリカ数学会報. 81 (4): 742–745. doi : 10.1090/s0002-9904-1975-13852-3 . MR  0373035.
• クアラルンプール、チョン (1976)。 「ブラウン運動におけるエクスカーション」。マテマティクのためのアルキフ。14 (1): 155–177。ビブコード:1976ArM....14..155C。土井：10.1007/bf02385832。MR  0467948。
• Durrett, Richard T.; Iglehart, Donald L. (1977). 「ブラウン運動の蛇行とブラウン運動の逸脱の関数」Annals of Probability . 5 (1): 130–135. doi : 10.1214/aop/1176995896 . JSTOR  2242808. MR  0436354.
• Groeneboom, Piet (1983). 「ブラウン運動の凹面メジャーラント」Annals of Probability . 11 (4): 1016–1027. doi : 10.1214/aop/1176993450 . JSTOR  2243513. MR  0714964.
• Groeneboom, Piet (1989). 「放物線ドリフトとエアリー関数を伴うブラウン運動」.確率論と関連分野. 81 : 79–109. doi : 10.1007/BF00343738 . MR  0981568. S2CID  119980629.
• 伊藤 清、マッキーン・ジュニア、ヘンリー・P. (2013) [1974].拡散過程とそのサンプル経路. 数学の古典（第2刷、訂正版）. シュプリンガー・フェアラーク、ベルリン. ISBN 978-3540606291MR  0345224 。
• Janson, Svante (2007). 「ブラウン運動領域、グラフ列挙におけるライト定数、およびその他のブラウン運動領域」。 確率 調査。4 : 80–145。arXiv : 0704.2289。Bibcode : 2007arXiv0704.2289J。doi : 10.1214/07-ps104。MR 2318402。S2CID 14563292。
• Janson, Svante; Louchard, Guy (2007). 「ブラウン運動の逸脱領域とその他のブラウン運動領域のテール推定」. Electronic Journal of Probability . 12 : 1600–1632. arXiv : 0707.0991 . Bibcode :2007arXiv0707.0991J. doi :10.1214/ejp.v12-471. MR  2365879. S2CID  6281609.
• ケネディ、ダグラス P. (1976)。 「最大ブラウン 運動の分布」。応用確率誌。13 (2): 371–376。doi : 10.2307 /3212843。JSTOR 3212843。MR  0402955。S2CID  222386970。
• ポール・レヴィ(1948)。Processus Stochastiques と Mouvement Brownien。ゴーティエ・ヴィラール、パリ。MR0029120  。
• Louchard, G. (1984) .「Kac の公式、Levy の局所時間、および Brownian エクスカーション」。 応用確率ジャーナル。21 ( 3): 479–499。doi : 10.2307 /3213611。JSTOR 3213611。MR  0752014。S2CID  123640749。
• Pitman, JW (1983)。「ブラウン運動の凸小関数に関する考察」。確率過程セミナー、1982 年。Progr. Probab. Statist. 第 5 巻。Birkhauser、ボストン。pp. 219–227。MR 0733673  。
• レヴズ、ダニエル。やあ、マーク (2004)。連続マーチンゲールとブラウン運動。 Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 293. Springer-Verlag、ベルリン。土井：10.1007/978-3-662-06400-9。ISBN 978-3-642-08400-3. MR  1725357。
• Vervaat, W. (1979). 「ブラウン橋とブラウン偏移の関係」Annals of Probability . 7 (1): 143–149. doi : 10.1214/aop/1176995155 . JSTOR  2242845. MR  0515820.