累積分布関数

時には、反対の質問を研究し、確率変数が特定のレベルを超える頻度を問うことが役立つことがあります。これは、相補累積分布関数（ccdf ) または単にテール分布または超過であり、次のように定義される。 $${\displaystyle {\bar {F}}_{X}(x)=\operatorname {P} (X>x)=1-F_{X}(x).}$$

これは、例えば統計的仮説検定に応用できます。なぜなら、片側p値は、観測された検定統計量と少なくとも同程度に極端な検定統計量を観測する確率だからです。したがって、検定統計量Tが連続分布を持つ場合、片側p値は単純にccdfによって与えられます。観測値に対して、${\displaystyle t}$検定統計量の $${\displaystyle p=\operatorname {P} (T\geq t)=\operatorname {P} (T>t)=1-F_{T}(t).}$$

生存分析では、${\displaystyle {\bar {F}}_{X}(x)}$生存関数と呼ばれ、${\displaystyle S(x)}$一方、信頼性関数という用語は工学分野では一般的です。

不動産

• 期待値を持つ非負の連続確率変数に対して、マルコフの不等式は次のように述べている^{[ 6 ]}$${\displaystyle {\bar {F}}_{X}(x)\leq {\frac {\operatorname {E} (X)}{x}}.}$$
• として${\displaystyle x\to \infty ,{\bar {F}}_{X}(x)\to 0}$実際には${\displaystyle {\bar {F}}_{X}(x)=o(1/x)}$ただし、${\displaystyle \operatorname {E} (X)}$有限である。証明:${\displaystyle X}$密度関数を持つ${\displaystyle f_{X}}$どのような場合でも${\displaystyle c>0}$$${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{0}^{\infty }xf_{X}(x)\,dx\geq \int _{0}^{c}xf_{X}(x)\,dx+c\int _{c}^{\infty }f_{X}(x)\,dx}$$そして、認識すると$${\displaystyle {\bar {F}}_{X}(c)=\int _{c}^{\infty }f_{X}(x)\,dx}$$用語を並べ替えると、$${\displaystyle 0\leq c{\bar {F}}_{X}(c)\leq \operatorname {E} (X)-\int _{0}^{c}xf_{X}(x)\,dx\to 0{\text{ as }}c\to \infty }$$主張どおり。
• 期待値を持つ確率変数の場合、$${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{0}^{\infty }{\bar {F}}_{X}(x)\,dx-\int _{-\infty }^{0}F_{X}(x)\,dx}$$また、非負の確率変数の場合、第2項は0になります。確率変数が非負の整数値しか取れない場合、これは以下と同等です。$${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\sum _{n=0}^{\infty }{\bar {F}}_{X}(n).}$$

累積分布のグラフは${\displaystyle F}$多くの場合S字型をしており、別の例として折り畳まれた累積分布または山型プロットがあり、グラフの上半分を折り畳みます。^{[ 7 ] [ 8 ]}

${\displaystyle F_{\text{fold}}(x)=F(x)1_{\{F(x)\leq 0.5\}}+(1-F(x))1_{\{F(x)>0.5\}}}$

どこ${\displaystyle 1_{\{A\}}}$は指示関数を表し、2 番目の項は生存関数であるため、上昇勾配用と下降勾配用の 2 つのスケールを使用します。この形式の図は、分布または経験的結果の中央値、分散(特に、中央値からの平均絶対偏差^{[ 9 ]} )、および歪度を強調します。

CDF Fが厳密に増加かつ連続である場合、${\displaystyle F^{-1}(p),p\in [0,1],}$は唯一の実数です${\displaystyle x}$そのため${\displaystyle F(x)=p}$これは逆分布関数または分位関数を定義します。

分布によっては一意の逆関数を持たないものもあります（例えば、${\displaystyle f_{X}(x)=0}$すべての人々のために${\displaystyle a<x<b}$原因となる${\displaystyle F_{X}}$（定数となる）。この場合、次のように定義される一般化逆分布関数を用いることができる。

${\displaystyle F^{-1}(p)=\inf\{x\in \mathbb {R} :F(x)\geq p\},\quad \forall p\in [0,1].}$

• 例1：中央値は${\displaystyle F^{-1}(0.5)}$。
• 例2：${\displaystyle \tau =F^{-1}(0.95)}$それでは、${\displaystyle \tau }$95パーセンタイル。

逆累積分布関数の有用な特性（一般化逆分布関数の定義にも保持されている）には、次のようなものがある。

1. ${\displaystyle F^{-1}}$減少しない^{[ 10 ]}
2. ${\displaystyle F^{-1}(F(x))\leq x}$
3. ${\displaystyle F(F^{-1}(p))\geq p}$
4. ${\displaystyle F^{-1}(p)\leq x}$かつその場合に限り${\displaystyle p\leq F(x)}$
5. もし${\displaystyle Y}$持っている${\displaystyle U[0,1]}$分布${\displaystyle F^{-1}(Y)}$配布される${\displaystyle F}$これは、逆変換サンプリング法を用いた乱数生成に使用されます。
6. もし${\displaystyle \{X_{\alpha }\}}$独立したコレクションです${\displaystyle F}$同じ標本空間で定義された分布する確率変数が存在する場合、確率変数が存在する。${\displaystyle Y_{\alpha }}$そのため${\displaystyle Y_{\alpha }}$配布される${\displaystyle U[0,1]}$そして${\displaystyle F^{-1}(Y_{\alpha })=X_{\alpha }}$すべての確率が1${\displaystyle \alpha }$。

累積分布関数の逆関数を用いることで、一様分布で得られた結果を他の分布に適用することができる。

経験分布関数は、サンプル内の点を生成した累積分布関数の推定値です。これは、確率1でその基礎となる分布に収束します。経験分布関数が基礎となる累積分布関数に収束する速度を定量化するための結果がいくつか存在します。^{[ 11 ]}

複数の確率変数を同時に扱う場合、同時累積分布関数を定義することもできます。例えば、2つの確率変数の場合${\displaystyle X,Y}$共同CDF${\displaystyle F_{XY}}$^{[ 2 ] : 89}で与えられる

ここで右辺は確率変数の確率を表す${\displaystyle X}$以下の値をとる${\displaystyle x}$そしてそれは${\displaystyle Y}$以下の値をとる${\displaystyle y}$。

同時累積分布関数の例：

2つの連続変数XとYについて：$${\displaystyle \Pr(a<X<b{\text{ and }}c<Y<d)=\int _{a}^{b}\int _{c}^{d}f(x,y)\,dy\,dx;}$$

2 つの離散確率変数については、確率表を作成し、XとYの各可能性のある範囲の累積確率を扱うことが有益であり、その例を以下に示します。^{[ 12 ]}

表形式で与えられた同時確率質量関数から、同時累積分布関数を求めなさい。

解法： XとYの各可能性のある範囲に対する確率表を用いて、同時累積分布関数を表形式で構築することができます。

のために${\displaystyle N}$確率変数${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$共同CDF${\displaystyle F_{X_{1},\ldots ,X_{N}}}$は

解釈する${\displaystyle N}$ランダム変数をランダムベクトルとして${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{N})^{T}}$より短い表記が得られます。 $${\displaystyle F_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )=\operatorname {P} (X_{1}\leq x_{1},\ldots ,X_{N}\leq x_{N})}$$

すべての多変量累積分布関数は次のようになります。

1. 各変数について単調非減少であり、
2. 各変数に関して右連続であり、
3. ${\displaystyle 0\leq F_{X_{1}\ldots X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})\leq 1,}$
4. ${\displaystyle \lim _{x_{1},\ldots ,x_{n}\to +\infty }F_{X_{1}\ldots X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=1}$そして${\displaystyle \lim _{x_{i}\to -\infty }F_{X_{1}\ldots X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=0,}$すべてのiについて。

単次元の場合とは異なり、上記の4つの特性を満たすすべての関数が多変量累積分布関数（CDF）であるとは限りません。たとえば、${\displaystyle F(x,y)=0}$のために${\displaystyle x<0}$または${\displaystyle x+y<1}$または${\displaystyle y<0}$そして${\displaystyle F(x,y)=1}$そうでなければ。上記の条件が満たされていることは容易にわかるが、それでも${\displaystyle F}$は CDF ではない。なぜなら、もしそうであれば、${\textstyle \operatorname {P} \left({\frac {1}{3}}<X\leq 1,{\frac {1}{3}}<Y\leq 1\right)=-1}$以下に説明するとおりです。

点が超直方体に属する確率は、1 次元の場合と同様である。^{[ 13 ]}$${\displaystyle F_{X_{1},X_{2}}(a,c)+F_{X_{1},X_{2}}(b,d)-F_{X_{1},X_{2}}(a,d)-F_{X_{1},X_{2}}(b,c)=\operatorname {P} (a<X_{1}\leq b,c<X_{2}\leq d)=\int \cdots }$$

実数確率変数から複素数確率変数への累積分布関数の一般化は、次の形式の式では明らかではない。${\displaystyle P(Z\leq 1+2i)}$意味をなさない。しかし、次の形式の表現は${\displaystyle P(\Re {(Z)}\leq 1,\Im {(Z)}\leq 3)}$理にかなっている。したがって、複素確率変数の累積分布を、その実部と虚部の同時分布によって定義する。 $${\displaystyle F_{Z}(z)=F_{\Re {(Z)},\Im {(Z)}}(\Re {(z)},\Im {(z)})=P(\Re {(Z)}\leq \Re {(z)},\Im {(Z)}\leq \Im {(z)}).}$$

式4の一般化により、 $${\displaystyle {\begin{aligned}F_{\mathbf {Z} }(\mathbf {z} )&=F_{\Re {(Z_{1})},\Im {(Z_{1})},\ldots ,\Re {(Z_{n})},\Im {(Z_{n})}}(\Re {(z_{1})},\Im {(z_{1})},\ldots ,\Re {(z_{n})},\Im {(z_{n})})\\[1ex]&=\operatorname {P} (\Re {(Z_{1})}\leq \Re {(z_{1})},\Im {(Z_{1})}\leq \Im {(z_{1})},\ldots ,\Re {(Z_{n})}\leq \Re {(z_{n})},\Im {(Z_{n})}\leq \Im {(z_{n})})\end{aligned}}}$$ 複雑なランダムベクトルの CDS の定義として${\displaystyle \mathbf {Z} =(Z_{1},\ldots ,Z_{N})^{T}}$。

コルモゴロフ・スミルノフ検定は累積分布関数に基づいており、2つの経験分布が異なるかどうか、あるいは経験分布が理想分布と異なるかどうかを検定するために使用できます。これと密接に関連するカイパー検定は、分布の定義域が曜日のように周期的な場合に役立ちます。例えば、カイパー検定は、竜巻の発生件数が年間を通して変動するかどうか、あるいは製品の売上が曜日や日付によって変動するかどうかを調べるために使用できます。