フィッシャーグループ Fi22

群論として知られる現代代数学の分野において、フィッシャー群 Fi ₂₂は散在的な単純群であり、

   64,561,751,654,400

= 2 ¹⁷  · 3 ⁹  · 5 ²  · 7  · 11  · 13

≈ 6 × 10¹³。

Fi _{22 は}26 個の散在群の 1 つであり、3 つのフィッシャー群の中で最小の群です。これは、3 転置群を調査しているときにBernd Fischer  (1971、1976)によって導入されました。

外部自己同型群の位数は 2 で、シューア乗数の位数は 6 です。

フィッシャー群 Fi ₂₂は 、3 転置に対応する 3510 頂点のグラフにランク 3 の作用を持ち、点安定子は群 PSU ₆ (2) の二重被覆である。また、外部自己同型によって交換された 14080 点に 2 つのランク 3 の作用を持つ。

Fi _{22には、78 次元の既約な実数表現があります。この mod 3 の積分形式を簡約すると、3 つの要素を持つ体上の Fi 22}の表現が得られ、これを固定ベクトルの 1 次元空間で割った商は、77 次元の既約な表現になります。

_{Fi 22}の完全三重被覆は、4 つの要素を持つ体上の次元 27 の既約表現を持ちます。これは、Fi _22が² E ₆ (2 ² )のサブグループであるという事実から生じます。Fi ₂₂の通常およびモジュラー キャラクタ テーブルはすべて計算されています。Hiss & White (1994) は 5 モジュラー キャラクタ テーブルを見つけ、Noeske (2007) は 2 モジュラーおよび 3 モジュラー キャラクタ テーブルを見つけました。

_{Fi 22}の自己同型群は、ベイビーモンスター群の位数 3 の要素を集中化します。

コンウェイとノートンは1979年の論文で、怪物的な密造酒は怪物に限らず、他の群でも同様の現象が見られるかもしれないと示唆した。その後、ラリッサ・クイーンらは、散在群の次元の単純な組み合わせから多くのハウプトモジュロンの展開を構築できることを発見した。Fi ₂₂の場合、マッケイ・トンプソン級数は、a (0) = 10 ( OEIS : A007254 ) と設定できる。 ${\displaystyle T_{6A}(\tau )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}j_{6A}(\tau )&=T_{6A}(\tau )+10\\&=\left(\left({\tfrac {\eta (\tau )\,\eta (3\tau )}{\eta (2\tau )\,\eta (6\tau )}}\right)^{3}+2^{3}\left({\tfrac {\eta (2\tau )\,\eta (6\tau )}{\eta (\tau )\,\eta (3\tau )}}\right)^{3}\right)^{2}\\&=\left(\left({\tfrac {\eta (\tau )\,\eta (2\tau )}{\eta (3\tau )\,\eta (6\tau )}}\right)^{2}+3^{2}\left({\tfrac {\eta (3\tau )\,\eta (6\tau )}{\eta (\tau )\,\eta (2\tau )}}\right)^{2}\right)^{2}-4\\&={\frac {1}{q}}+10+79q+352q^{2}+1431q^{3}+4160q^{4}+13015q^{5}+\dots \end{aligned}}}$

η ( τ )はデデキントのイータ関数です。

• アッシュバッハー、マイケル(1997)、3-転置群、ケンブリッジ数学論文集、第 124 巻、ケンブリッジ大学出版局、doi :10.1017/CBO9780511759413、ISBN 978-0-521-57196-8, MR  1423599、2016年3月4日にオリジナルからアーカイブ、2012年6月21日に取得フィッシャーの定理の完全な証明が含まれています。
• Conway, John Horton (1973)、「最小のフィッシャー群 F ₂₂の構成」、Shult、Ernest E.、Hale、Mark P.、Gagen、Terrence (編)、有限群 '72 (ゲインズビル有限群会議議事録、フロリダ大学、ゲインズビル、フロリダ、1972 年 3 月 23 ～ 24 日)、North-Holland Mathematics Studies、第 7 巻、アムステルダム: North-Holland、pp. 27 ～ 35、MR  0372016
• フィッシャー、ベルント（1971）、「3-転置によって生成される有限群。I」、Inventiones Mathematicae、13（3）：232–246、doi：10.1007 / BF01404633、ISSN  0020-9910、MR  0294487これは、フィッシャーのグループ構築に関するプレプリントの最初の部分です。論文の残りの部分は未発表です (2010 年現在)。
• フィッシャー、ベルント (1976)、「3 転置によって生成される有限群」、プレプリント、ウォーリック大学数学研究所
• _{Hiss, Gerhard; White, Donald L. (1994)、「散在単純フィッシャー群 Fi 22}の被覆群とその自己同型群の 5 モジュラー特性」、Communications in Algebra、22 (9): 3591–3611、doi :10.1080/00927879408825043、ISSN  0092-7872、MR  1278807
• _{Noeske, Felix (2007)、「散在単純フィッシャー群 Fi 22}とその被覆の 2 および 3 モジュラー特性」、Journal of Algebra、309 (2): 723–743、doi : 10.1016/j.jalgebra.2006.06.020、ISSN  0021-8693、MR  2303203
• ウィルソン、ロバート A. (1984)、「フィッシャー群 Fi ₂₂の最大部分群について」、ケンブリッジ哲学協会数学紀要、95 (2): 197–222、doi :10.1017/S0305004100061491、ISSN  0305-0041、MR  0735364
• ウィルソン、ロバート A. (2009)、「有限単純群」、Graduate Texts in Mathematics 251、vol. 251、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、doi：10.1007/978-1-84800-988-2、ISBN 978-1-84800-987-5、Zbl  1203.20012
• ウィルソン、RA 有限群表現の ATLAS。

• MathWorld: フィッシャー群
• 有限群表現のアトラス: Fi22