コンウェイグループ Co2

群論として知られる現代代数学の分野では、コンウェイ群 Co ₂は散在的な単純群であり、

42,305,421,312,000

= 2 ¹⁸ · 3 ⁶ · 5 ³ · 7 · 11 · 23

≈ 4 × 10¹³。

歴史と特性

Co ₂は 26 個の散在群の 1 つで、 ( Conway 1968, 1969)によって、タイプ 2の格子ベクトルを固定したLeech 格子Λの自己同型群として発見されました。したがって、 Co ₀のサブグループです。 Co ₁のサブグループと同型です。直積 2×Co _{2は Co}₀で最大になります。

シューア乗数と外部自己同型群は両方とも自明です。

表現

Co _{2 は、2300 点の}ランク 3 の順列群として機能します。これらの点は、6 つのタイプ 2 頂点を持つ Leech 格子の平面六角形と同一視できます。

Co _{2 は}、ノルム 4 ベクトルに直交するリーチ格子の部分格子として与えられる、行列式 4 の根を持たない 23 次元偶整数格子に作用します。2 つの要素を持つ体上では、22 次元の忠実な表現を持ちます。これは、任意の体上での最小の忠実な表現です。

Feit (1974) は、有限群が次元 23 の絶対既約な忠実な有理表現を持ち、指数 23 または 24 の部分群を持たない場合、その有限群はZ /2 Z × Co ₂またはZ /2 Z × Co ₃のいずれかに含まれることを示した。

マシュー群M _23はCo₂の最大部分群と同型であり、置換行列における1つの表現はタイプ2ベクトルu = (-3,1 ²³ )を固定する。反転η = のブロック和ζは、

{\mathbf {1} /2}\left({\begin{matrix}1&-1&-1&-1\\-1&1&-1&-1\\-1&-1&1&-1\\-1&-1&-1&1\end{matrix}}\right)

-η の 5 つのコピーも同じベクトルを固定します。したがって、 Co _{2 はCo}₀の標準表現内に便利な行列表現を持ちます。 ζ のトレースは -8 ですが、 M ₂₃の反転はトレース 8 を持ちます。

η と -η の 24 次元ブロック和がCo ₀に含まれるのは、η のコピー数が奇数の場合のみです。

別の表現では、ベクトルv = (4,-4,0 ²² ) を固定します。単項式で最大の部分群には、M ₂₂ :2 の表現が含まれます。ここで、最初の 2 つの座標を交換する任意の α は、ベクトルを反転することによってv を復元します。また、8 進数 (トレース 8)、16 進数 (トレース -8)、および 12 進数 (トレース 0) に対応する対角反転も含まれます。Co ₂には反転の共役クラスが 3 つだけあることがわかります。η は (4,-4,0,0) を変更しません。ブロック和 ζ は、Co ₂のこの表現を完了する非単項式生成子を提供します。

vの安定因子を構築する別の方法があります。ここで、uとu + v = (1,-3,1 ²² ) は 2-2-2 三角形の頂点です (下記参照)。すると、u、u + v、v 、およびそれらの負の数は、 ζ と M ₂₂によって固定された共平面六角形を形成します。これらは、グループFi ₂₁ ≈ U ₆ (2) を生成します。 α (上記参照) は、これを Fi ₂₁ :2 に拡張し、これは Co ₂で最大になります。最後に、 Co _{0 は}タイプ 2 の点に対して推移的であるため、23 サイクルの固定u には共役固定vがあり、生成が完了します。

最大サブグループ

いくつかの最大部分群は、リーチ格子の 2 次元部分格子を固定または反映します。これらの平面は、通常、hkl 三角形、つまり原点を頂点として含む三角形で、辺 (頂点の差) は h、k、l 型のベクトルです。

ウィルソン（2009）は、 Co ₂の最大部分群の11個の共役類を次のように発見した。

共役クラス

_{Co 2}の標準的な24次元表現における行列のトレースが示されている。^[1]共役類の名前は有限群表現アトラスから取られている。^[2]

構造が不明なセントラライザーは括弧で示されます。

参考文献

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コンウェイ、ジョン・ホートン(1969)、「8,315,553,613,086,720,000 の位数の群」、ロンドン数学会報、1 : 79–88、doi :10.1112/blms/1.1.79、ISSN 0024-6093、MR 0248216
コンウェイ、ジョン・ホートン(1971)、「例外群に関する 3 つの講義」、パウエル、MB、ヒグマン、グラハム(編)、有限単純群、ロンドン数学協会 (NATO 先進研究機関) 主催の教育会議議事録、オックスフォード、1969 年 9 月、ボストン、マサチューセッツ州:アカデミックプレス、pp. 215–247、ISBN 978-0-12-563850-0、MR 0338152Conway & Sloane (1999, 267–298) に再録
ジョン・ホートン・コンウェイ; Sloane、Neil JA (1999)、Sphere Packings、Lattices and Groups、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften、vol. 290 (第 3 版)、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、doi :10.1007/978-1-4757-2016-7、ISBN 978-0-387-98585-5、MR 0920369
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コンウェイ、ジョン・ホートン、パーカー、リチャード・A.、ノートン、サイモン・P.、カーティス、RT、ウィルソン、ロバート・A.（1985）、有限群のアトラス、オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-853199-9、MR 0827219
Griess、Robert L. Jr. (1998)、12 の散発グループ、Springer Monographs in Mathematics、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、doi :10.1007/978-3-662-03516-0、ISBN 978-3-540-62778-4、MR 1707296
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ウィルソン、ロバート A. (2009) 「有限単純群」、Graduate Texts in Mathematics 251、vol. 251、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、doi：10.1007/978-1-84800-988-2、ISBN 978-1-84800-987-5、Zbl 1203.20012

特定の

^ ウィルソン（1983）
^ 「ATLAS: コンウェイグループ Co2」.

外部リンク

MathWorld: コンウェイ群
有限群表現のアトラス: Co2 バージョン 2
有限群表現のアトラス: Co2 バージョン 3

[1] ウィルソン（1983）

[2] 「ATLAS: コンウェイグループ Co2」.