リーグループ

数学において、リー群は、多重結合の方向を反転するディンキン図の例外的な自己同型からリー (1960、1961)によって構築された有限体上のリー型の群であり、異なる方法を使用して鈴木によって発見された鈴木群を一般化したものである。それらは、発見された有限単純群の無限族の中で最後に発見されたものである。

スタインバーグ群とは異なり、リー群は有限体上に定義された連結な簡約代数群の点によって与えられません。言い換えると、ユニタリ群がスタインバーグ群と関連しているのと同じように、リー群と関連する「リー代数群」は存在しません。ただし、非完全体上のいくつかのエキゾチックな擬似簡約代数群は、根の長さを変更するディンキン図の同じエキゾチックな自己同型を使用するため、その構成はリー群の構成に関連しています。

ティッツ(1960)は、特性2と3の無限体上のリー群を定義した。ティッツ(1989)とヘー(1990)は、無限次元カッツ・ムーディ代数のリー群を導入した。

X がディンキン図式である場合、シュヴァレーはXに対応する分割代数群を構築し、特に体Fに値を持つ群X ( F )を与えた。これらの群には次の自己同型がある。

• 体Fの任意の自己準同型σ は、群X ( F )の自己準同型α _{σ を誘導する。}
• ディンキン図の任意の自己同型πは、群X ( F )の自己同型_απを誘導する。

スタインバーグ群とシュヴァレー群は、体の代数閉包Fに対するX ( F )の自己準同型の不動点として構成できます。シュヴァレー群の場合、自己同型はFのフロベニウス自己準同型であり、スタインバーグ群の場合、自己同型はフロベニウス自己準同型とディンキン図の自己同型の積です。

標数 2 の体上の群B ₂ ( F )とF ₄ ( F )、および標数 3 の体上の群G ₂ ( F )は、その平方が体Fのフロベニウス自己準同型φに関連付けられた自己準同型α _φである自己準同型を持ちます。大まかに言えば、この自己準同型α _{π は、}根の長さを無視したディンキン図の 2 次自己同型から来ます。

体F が自己準同型σ を持ち、その平方がフロベニウス自己準同型σ ² = φであるとします。このとき、リー群はX ( F )の元gの群として定義され、 α _π ( g ) = α _σ ( g )となります。体Fが完全であれば、 α _πとα _{φ は自己同型であり、リー群は}X ( F )の反転α _φ /α _πの不動点の群です。

F がp ^k位数の有限体( p = 2 または 3)である場合、 k = 2 n + 1 が奇数のとき、フロベニウスの平方との自己準同型が存在し、その場合、それは一意です。したがって、これは反転によって固定された B ₂ (2 ^{2 n +1} )、F ₄ (2 ^{2 n +1} )、および G ₂ (3 ^{2 n +1} )の部分群として有限リー群を与えます。

シュヴァレー群、スタインバーグ群、およびリー群の関係は、おおよそ次のとおりです。ディンキン図式Xが与えられると、シュヴァレーは整数Z上の群スキームを構築しました。この群スキームの有限体上の値はシュヴァレー群です。一般に、 X ( F )の自己準同型αの不動点を取ることができます。ここで、F は有限体の代数的閉包であり、αの何らかの累乗はフロベニウス自己準同型 φ の何らかの累乗です。3 つのケースは次のとおりです。

• シュヴァレー群では、ある正の整数nに対してα = φ ⁿです。この場合、不動点群は有限体上で定義されたXの点群でもあります。
• スタインバーグ群では、α ^m = φ ^{n が成り立ち、} m が nを割り切り、m > 1となるような正の整数m、n が存在する。この場合、不動点群は有限体上で定義されたXのねじれ（準分割）形式の点群でもある。
• リー群では、α ^m = φ ^{n が}、ある正の整数m、nに対して成り立ち、 mはn を割り切れません。実際には、m =2 で、n は奇数です。リー群は、体の値を持つ連結な代数群の点として与えられるわけではありません。リー群は、 nが奇数の位数p ⁿの体上に定義された群の位数m =2 の自己同型の不動点であり、対応する位数p ^{n /2}の体はありません(ただし、一部の著者は、グループの表記法ではそれがあるかのように装っています)。

^タイプ2 B ₂の Ree 群は、異なる方法を使用して Suzuki (1960) によって初めて発見され、通常Suzuki 群と呼ばれます。Ree は、Steinberg (1959) の構成のバリエーションを使用して、タイプ B ₂の群からそれらを構成できることに気付きました。Ree は、同様の構成を Dynkin 図 F ₄と G ₂に適用して、有限単純群の 2 つの新しいファミリを生成できることに気付きました。

² G ₂ (3 ^{2 n +1} )型のリー群はリー (1960) によって導入され、最初の² G _{2 (3) を除いてすべてが単純であることを示した。2 G 2 (3) は}SL ₂ (8)の自己同型群と同型である。ウィルソン (2010) は、双線型形式、三線型形式、ねじれ線型性則を満たす積を保存する 3 ^{2 n +1}個の要素を持つ体上の 7 次元ベクトル空間の自己同型として、リー群の簡略化された構成を与えた。

リー群の位数はq ³ ( q ³ + 1)( q − 1)で、q = 3 ^{2 n +1である。}

シューア乗数は_n≥1および 2G2(3)′に対して^自明である。

外部自己同型群は 2 n  + 1 の位数の巡回群である。

リー群はRee( q )、R( q )、E ₂ ^* ( q ) と表記されることもある。

リー群² G ₂ ( q )はq ³ + 1点上の二重推移的置換表現を持ち、より正確にはS(2, q +1, q ³ +1)シュタイナー系の自己同型として作用する。また、G ₂ ( q )のサブグループであるため、q個の要素を持つ体上の7次元ベクトル空間にも作用する。

リー群の 2-シロー部分群は、位数 8 の基本アーベル群である。ウォルターの定理は、アーベルシロー 2-部分群を持つ他の非アーベル有限単純群は、次元 2 の射影特殊線型群とヤンコ群 J1だけであることを示す。これらの群は、最初の現代の散在群の発見にも役割を果たした。これらの群には、 Z /2 Z × PSL ₂ ( q )の形式の反転中心化子があり、同様の形式Z /2 Z × PSL ₂ (5)の反転中心化子を持つ群を調べることで、ヤンコは散在群 J _{1 を}発見した。Kleidman (1988) は、これらの最大部分群を決定した。

^タイプ2のリー群G ₂は、特徴付けるのが非常に難しい。トンプソン (1967、1972、1977) はこの問題を研究し、そのような群の構造は標数 3 の有限体の特定の自己同型σによって決定され、この自己同型の平方がフロベニウス自己同型であれば群はリー群であることを示すことができた。彼はまた、自己同型σが満たすいくつかの複雑な条件を与えた。最後にボンビエリ (1980) は消去論を使用して、トンプソンの条件が 178 の小さなケースを除くすべての場合でσ ² = 3を意味することを示し、それらのケースはオドリツコとハントによってコンピュータを使用して消去された。ボンビエリは、群論の外の誰かがこの問題の解決に協力できるかもしれないと示唆したゴレンスタイン (1979) の分類に関する記事を読んでこの問題を知った。 Enguehard (1986) は、Thompson と Bombieri によるこの問題の解決法について統一的な説明を与えた。

² F ₄ (2 ^{2 n +1} )型のリー群は、リー (1961) によって導入されました。これらは、最初の² F ₄ (2)を除いて単純です。2 F 4 (2) は、現在ではティッツ群として知られる指数 2 の単純部分群を持つことがティッツ (1964) によって示されました。ウィルソン (2010b) は、2 ^{2 n +1}の位数の体上の 26 次元空間の対称性として、二次形式、三次形式、および部分乗法を保存するリー群の簡略化された構成を与えました。

リー群² F ₄ (2 ^{2 n +1} )の位数は q ¹² ( q ⁶  + 1) ( q ⁴  − 1) ( q ³  + 1) ( q  − 1) であり、 q = 2 ^{2 n +1}である。シューア乗数は自明である。外部自己同型群は位数 2 n  + 1 の巡回群である。

これらのリー群は、 BN ペアのコクセター群が結晶学的ではないという珍しい特性を持っています。これは、順序 16 の二面体群です。Tits (1983) は、すべてのMoufang 八角形がタイプ² F ₄のリー群から派生することを示しました。

• 有限単純群の一覧

• カーター、ロジャー W. (1989) [1972]、「リー型の単純群」、ワイリークラシックスライブラリー、ニューヨーク：ジョンワイリーアンドサンズ、ISBN 978-0-471-50683-6、MR  0407163
• Bombieri、Enrico (1980)、「Thompson の問題 (σ ² =3)」、Inventiones Mathematicae、58 (1)、Andrew Odlyzko および D. Hunt による付録: 77–100、doi :10.1007/BF01402275、ISSN  0020-9910、氏 0570875、S2CID  122867511
• ミシェル・エングハルト (1986)、「Caractérisation des groupes de Ree」、Asterisque (142): 49–139、ISSN  0303-1179、MR  0873958
• ゴレンスタイン、D. (1979)、「有限単純群の分類。I.単純群と局所解析」、アメリカ数学会報、新シリーズ、1 (1): 43–199、doi : 10.1090/S0273-0979-1979-14551-8、ISSN  0002-9904、MR  0513750
• Hée, Jean-Yves (1990)、「Kac-Moody の理論的グループの構築」、科学アカデミー コンプテス レンデュス、シリーズ I、310 (3): 77–80、ISSN  0764-4442、MR  1044619
• クライドマン、ピーター B. (1988)、「q が奇数のシュヴァレー群 G ₂ (q)、リー群² G ₂ (q)、およびそれらの自己同型群の最大部分群」、代数ジャーナル、117 (1): 30–71、doi :10.1016/0021-8693(88)90239-6、ISSN  0021-8693、MR  0955589
• リー、リムハク (1960)、「(G2) 型の単純リー代数に関連する単純群の族」、アメリカ数学会誌、66 (6): 508–510、doi : 10.1090/S0002-9904-1960-10523-X、ISSN  0002-9904、MR  0125155
• リー、リムハク (1961)、「(F4) 型の単純リー代数に関連する単純群の族」、アメリカ数学会誌、67 : 115–116、doi : 10.1090/S0002-9904-1961-10527-2、ISSN  0002-9904、MR  0125155
• スタインバーグ、ロバート（1959）、「シュヴァレーの主題による変奏曲」、パシフィック・ジャーナル・オブ・マスマティクス、9（3）：875-891、doi：10.2140/pjm.1959.9.875、ISSN  0030-8730、MR  0109191
• スタインバーグ、ロバート (1968)、シュヴァレー群に関する講義、イェール大学、ニューヘブン、コネチカット州、MR  0466335、2012-09-10 にオリジナルからアーカイブ
• スタインバーグ、ロバート（1968）、線型代数群の自己準同型、アメリカ数学会誌、第80号、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、ISBN 9780821812808、MR  0230728
• 鈴木道雄(1960)、「有限順序の新しいタイプの単純群」、米国科学アカデミー紀要、46 (6): 868–870、doi : 10.1073/pnas.46.6.868、ISSN  0027-8424、JSTOR  70960、MR  0120283、PMC  222949、PMID  16590684
• トンプソン、ジョン G. (1967)、「E ₂ *(q)の特徴づけに向けて」、代数ジャーナル、7 (3): 406–414、doi :10.1016/0021-8693(67)90080-4、ISSN  0021-8693、MR  0223448
• トンプソン、ジョン G. (1972)、「E ₂ *(q)の特徴付けに向けてII」、代数ジャーナル、20 (3): 610–621、doi : 10.1016/0021-8693(72)90074-9、ISSN  0021-8693、MR  0313377
• トンプソン、ジョン G. (1977)、「E ₂ *(q) . IIIの特徴づけに向けて」、代数ジャーナル、49 (1): 162–166、doi :10.1016/0021-8693(77)90276-9、ISSN  0021-8693、MR  0453858
• ティッツ、ジャック (1960)、「鈴木とレーの単純なグループ」、ブルバキセミネール、Vol. 6、パリ:フランス数学協会、65–82 ページ、MR  1611778
• ティッツ、ジャック (1964)、「代数的および抽象的単純群」、数学年報、第 2 シリーズ、80 (2): 313–329、doi :10.2307/1970394、ISSN  0003-486X、JSTOR  1970394、MR  0164968
• ^{ティッツ、ジャック (1983)、「モウファン八角形とタイプ2} F ₄のリー群」、アメリカ数学ジャーナル、105 (2): 539–594、doi :10.2307/2374268、ISSN  0002-9327、JSTOR  2374268、MR  0701569
• ティッツ、ジャック (1989)、「Groupes associés aux algebres de Kac-Moody」、Astérisque、Séminaire Bourbaki (177): 7–31、ISSN  0303-1179、MR  1040566
• ウィルソン、ロバート A. (2010)、「小さなリー群へのもう一つの新しいアプローチ」、Archiv der Mathematik、94 (6): 501–510、CiteSeerX  10.1.1.156.9909、doi :10.1007/s00013-010-0130-4、ISSN  0003-9268、MR  2653666、S2CID  122724281
• ^{ウィルソン、ロバート A. (2010b)、「タイプ2} F ₄のリー群の簡単な構成」、代数ジャーナル、323 (5): 1468–1481、doi :10.1016/j.jalgebra.2009.11.015、ISSN  0021-8693、MR  2584965

• ATLAS: リーグループR(27)