ヤンコグループ J2

群論として知られる現代代数学の分野において、ヤンコ群 J ₂またはホールヤンコ群 HJは、次数の散在単純群 である。

   2 ⁷  · 3 ³  · 5 ²  · 7 = 604800

≈ 6 × 10⁵ .

J _{2 は}26の散在群の1つであり、ホール・ヤンコ・ウェールズ群とも呼ばれる。1969年にズヴォニミール・ヤンコは、 2 ¹⁺⁴ :A _{5 を}反転の中心化として持つ2つの新しい単純群の1つとしてJ _{2 を}予測した（もう1つはヤンコ群 J3 ）。これは、マーシャル・ホールとデイビッド・ウェールズ（1968年）によって、100点上のランク3の置換群として構築された。

シューア乗数と外部自己同型群はどちらも位数が 2 です。100 点の置換群として、 J _{2には 100 点すべてを動かす}反転と 80 点だけを動かす反転があります。前者の反転は 25 の二重移送の積で奇数なので、二重被覆2.A ₁₀₀の 4 元に持ち上げられます。二重被覆 2.J _{2 は}、コンウェイ群 Co _0のサブグループとして発生します。

J _{2 は}、4 つのヤンコ群の中でモンスター群の部分商である唯一の群です。したがって、ロバート グリースがハッピー ファミリーと呼ぶものの一部です。これはコンウェイ群 Co1にも見られるため、ハッピー ファミリーの 2 世代目の一部です。

これは、ホール・ヤンコグラフの自己同型群の指数2の部分群であり、次数100の置換表現につながります。また、ホール・ヤンコ近八角形^[1]の自己同型群の指数2の部分群でもあり、次数315の置換表現につながります。

これは4つの要素の体上の6次元のモジュラー表現を持ちます。特性2でw ² + w + 1 = 0の場合、J _2は2つの行列によって生成されます。

${\displaystyle {\mathbf {A} }={\begin{pmatrix}w^{2}&w^{2}&0&0&0&0\\1&w^{2}&0&0&0&0\\1&1&w^{2}&w^{2}&0&0\\w&1&1&w^{2}&0&0\\0&w^{2}&w^{2}&w^{2}&0&w\\w^{2}&1&w^{2}&0&w^{2}&0\end{pmatrix}}}$

そして

${\displaystyle {\mathbf {B} }={\begin{pmatrix}w&1&w^{2}&1&w^{2}&w^{2}\\w&1&w&1&1&w\\w&w&w^{2}&w^{2}&1&0\\0&0&0&0&1&1\\w^{2}&1&w^{2}&w^{2}&w&w^{2}\\w^{2}&1&w^{2}&w&w^{2}&w\end{pmatrix}}.}$

これらの行列は次の式を満たす。

${\displaystyle {\mathbf {A} }^{2}={\mathbf {B} }^{3}=({\mathbf {A} }{\mathbf {B} })^{7}=({\mathbf {A} }{\mathbf {B} }{\mathbf {A} }{\mathbf {B} }{\mathbf {B} })^{12}=1.}$

(4 次有限体上の行列乗算は、通常の行列乗算とは少し異なる定義になっていることに注意してください。w がaと同じで、w ^{2 が}1 + aと同じである特定の加算表と乗算表については、有限体 § 4 つの要素を持つ体を参照してください。)

したがって、 J _2はフルヴィッツ群、つまり(2,3,7)三角形群の有限準同型像である。

上記の行列表現は、ディクソン群G ₂ (4)への埋め込みを構成します。G ₂ (4)にはJ ₂の共役類が 1 つだけあります。G ₂ (4)に含まれるすべてのサブグループJ _2は、 G ₂ (4): 2 = Aut(G 2 (4)) のサブグループ J 2 :2 = Aut(J 2 ₎に拡張されます₍ G 2 ( ₄ )はF ₄の_体自己同型によって拡張されます)。G _{2 (4) は、}コンウェイ群Co ₁のサブグループに同型です。   

J ₂の最大部分群の共役類は9 つあります。そのうちのいくつかは、ここでは Hall-Janko グラフへの作用の観点から説明されています。

• U ₃ (3) 順序6048 – 1点安定器、軌道36と63

単純で、位数 168 の単純部分群が 36 個と、すべて共役でそれぞれ 80 ポイント移動する 63 個の反転が含まれます。特定の反転は 12 個の 168 部分群に含まれ、共役の下で固定されます。その中心化は構造 4.S ₄を持ち、これには 6 個の追加反転が含まれます。

• 3.PGL(2,9) の順序 2160 – 部分商 A _6を持つ
• 2 ¹⁺⁴ :A ₅順序 1920 – 80 ポイントを移動する反転の中心化
• 2 ²⁺⁴ :(3 × S ₃ ) 次数 1152
• A ₄ × A ₅オーダー 720

2 ² × A ₅（順序240）を含み、それぞれ100ポイント移動する3つの反転の中心化

• A ₅ × D ₁₀オーダー600
• PGL(2,7) 順序 336
• 5 ² :D ₁₂注文300
• A ₅オーダー 60

任意の要素の最大次数は 15 です。順列として、要素は Hall-Janko グラフの 100 個の頂点に作用します。

• ロバート L. グリースジュニア、「Twelve Sporadic Groups」、Springer-Verlag、1998 年。
• ホール、マーシャル; ウェールズ、デイビッド (1968)、「604,800 次数の単純群」、代数ジャーナル、9 (4): 417–450、doi : 10.1016/0021-8693(68)90014-8、ISSN  0021-8693、MR  0240192(グリースは、代数学ジャーナルの編集者であるマーシャル・ホールが「位数 604801 の単純群」と題する非常に短い論文を受け取った経緯を説明しています [p. 123]。そうです、604801 は素数です。)
• Janko, Zvonimir (1969)、「有限位数のいくつかの新しい単純群 I」、Symposia Mathematica (INDAM、ローマ、1967/68)、第 1 巻、ボストン、マサチューセッツ州: Academic Press、pp. 25–64、MR  0244371
• ウェールズ、デイビッド B.、「SL(6,4) のサブグループとしての順序 604800 の単純群の一意性」、代数ジャーナル11 (1969)、455–460。
• ウェールズ、デイビッド B.、「ホール-ヤンコ群の G2(4) の部分群としての生成子」、代数ジャーナル 13 (1969)、513-516、doi :10.1016/0021-8693(69)90113-6、MR 0251133、ISSN  0021-8693

• MathWorld: ヤンコ群
• 有限群表現のアトラス: J2
• J2の部分群格子