ヤンコグループ J1

群論として知られる現代代数学の分野において、ヤンコ群 J ₁は、次数の散在単純群である。

   2 ³  · 3  · 5  · 7  · 11  · 19 = 175560

≈ 2 × 10⁵ .

J _{1 は}26 の散在群の 1 つであり、 1965 年にズヴォニミール・ヤンコによって最初に記述されました。これはヤンコ自身によって存在が証明された唯一のヤンコ群であり、19 世紀のマシュー群の発見以来発見された最初の散在群でした。その発見により、散在群の現代理論が始まりました。

1986年にロバート・A・ウィルソンは、 J _{1 が}モンスター群のサブグループにはなり得ないことを示しました。^{[1]したがって、これは}パリア と呼ばれる6つの散在群の1つです。

J ₁の最小の忠実な複素表現は次元 56 です。^[2] J _{1 は}抽象的に、アーベル2-シロー部分群を持ち、その中心化が位数 2 の群と位数 60 の交代群A _5の直積、つまり回転二十面体群と同型である反転を持つ唯一の単純群として特徴付けることができます。これが Janko の群の元々の概念でした。実際、ヤンコとトンプソンはリー群² G ₂ (3 ^{2 n +1} )に似た群を調査していて、単純群Gがアーベル・シロー 2 部分群と形式Z /2 Z × PSL ₂ ( q )の中心化を持ち、q が少なくとも 3 の素数べきである場合、qが 3 のべき乗であり、G がリー群と同じ位数を持つか (この場合、 G はリー群でなければならないことが後に示された)、 qが 4 または 5 であることを示した。PSL ₂ ( 4 )= PSL ₂ ( 5 )= A _5であることに注意してください。この最後の例外的なケースはヤンコ群J ₁につながりました。

J ₁には外部自己同型がなく、そのシュアー乗数は自明です。

J _{1 は}、位数 2 の外部自己同型によって固定された要素の部分群として O'Nan 群に含まれます。

ヤンコは、 11個の元を持つ体において、7×7の直交行列によるモジュラー表現を発見した。生成元は次のように与えられる。

${\displaystyle {\mathbf {Y} }=\left({\begin{matrix}0&1&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&1\\1&0&0&0&0&0&0\end{matrix}}\right)}$

そして

${\displaystyle {\mathbf {Z} }=\left({\begin{matrix}-3&+2&-1&-1&-3&-1&-3\\-2&+1&+1&+3&+1&+3&+3\\-1&-1&-3&-1&-3&-3&+2\\-1&-3&-1&-3&-3&+2&-1\\-3&-1&-3&-3&+2&-1&-1\\+1&+3&+3&-2&+1&+1&+3\\+3&+3&-2&+1&+1&+3&+1\end{matrix}}\right).}$

Y の位数は 7、Z の位数は 5 です。Janko (1966) は、この表現をDickson の単純群G ₂ (11) (11 個の要素を持つ体上の 7 次元表現を持つ) への埋め込みとして認識した WA Coppel の功績を認めました。

J _{1 は}、 266の頂点と1463の辺を持つ距離推移グラフであるリビングストングラフの自己同型群である。頂点の安定子はPSL _{2 (11)であり、辺の安定子は2×A 5}である。

この置換表現は、サブグループPSL ₂ (11)から始めて、11個の反転t ⁰ ,..., t ^Xを付加することで暗黙的に構築できます。PSL ₂ (11)は、これらの反転を例外的な11点表現で置換するため、Payley複平面の点と同一視できます。次の関係（組み合わせ）はJ _1を定義するのに十分です：^[3]

• 点iとjが与えられたとき、 iとjの両方を含む直線が 2 つあり、どちらの直線上にも 3 つの点がない。この場合、積t ⁱ t ^j t ⁱ t ^j t ^{i は、}_{これら 3 つの点を固定する PSL 2} (11)における唯一の反転である。
• 共通直線上にない点i、j、kが与えられた場合、積t ⁱ t ^j t ^k t i ^t j^は、 iをjに、jをkに、kをiに戻すPSL ₂ (11)の 6 次元の唯一の要素であるため、(t ⁱ t ^j t ^k t ⁱ t ^j ) ³は、これらの 3 点を固定する唯一の反転です。

生成子のペアa、bもあり、

a ² =b ³ =(ab) ⁷ =(abab ⁻¹ ) ¹⁰ =1

したがって、 J _{1 は}フルヴィッツ群、つまり(2,3,7) 三角形群の有限準同型像です。

Janko (1966) は、表に示されているように、J ₁の最大部分群の 7 つの共役類を発見しました。 順序 660 の最大単純部分群は、 J ₁に次数 266 の置換表現を提供します。 彼は、交代群A ₅に同型な部分群の共役類が 2 つあり、どちらも順序 660 の単純部分群に見つかることを 発見しました。 J _{1 に}は、同型型が 2 つだけの非可換単純真部分群があります。

表記A . B は、商Bを持つ正規部分群Aを持つ群を意味し、 D _{2 n は}位数 2 nの二面体群です。

群の要素の最大位数は 19 です。共役類の位数とサイズは ATLAS に記載されています。

• Chevalley、Claude (1995) [1967]、「Le groupe de Janko」、Séminaire Bourbaki、Vol. 10、パリ: Société Mathématique de France、pp. 293–307、MR  1610425
• ロバート A. ウィルソン(1986)。J1 はモンスターのサブグループか?、Bull. London Math. Soc. 18、no. 4 (1986)、349-350
• RT Curtis、(1993)対称表現II：Janko群J1、J. London Math. Soc.、47（2）、294-308。
• RT Curtis、(1996) Janko 群 J1 の元の対称表現、J. Symbolic Comp.、22、201-214。
• Christoph, Jansen (2005). 「散在単純群とその被覆群の忠実な表現の最小次数」LMS Journal of Computation and Mathematics . 8 : 123. doi : 10.1112/S1461157000000930 .
• Zvonimir Janko, アーベルSylow部分群を持つ新しい有限単純群, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 53 (1965) 657-658.
• ズヴォニミール・ヤンコ「 アーベル・シロー部分群を持つ新しい有限単純群とその特徴づけ」代数ジャーナル3:147-186、(1966) doi :10.1016/0021-8693(66)90010-X
• Zvonimir Janko と John G. Thompson、「Ree の有限単純群のクラスについて」、Journal of Algebra、4 (1966)、274-292。

• MathWorld: ヤンコ群
• 有限群表現アトラス: J1 バージョン 2
• 有限群表現のアトラス: J1 バージョン 3