フィッシャーグループ

群論として知られる現代代数学の分野において、フィッシャー群はベルント・フィッシャー (1971、1976) によって導入された3 つの散在単純群 Fi ₂₂、Fi ₂₃、およびFi _{24である。}

フィッシャー群は、3 転置群の研究中に発見したベルント フィッシャーにちなんで名付けられました。これらは、次の特性を持つ 群Gです。

• G は、「フィッシャー転置」または 3 転置と呼ばれる、順序 2 の共役クラスによって生成されます。
• 任意の 2 つの異なる転置の積は、順序が 2 または 3 になります。

3次元転置群の典型的な例は対称群であり、フィッシャー転置は純粋な転置である。対称群Snは_n − 1回の転置によって生成できる:(12),(23),..., ( n −1, n )。

フィッシャーは、特定の追加技術的条件を満たす 3 転置群を分類することができました。彼が見つけた群は、主にいくつかの無限クラス (対称群以外: シンプレクティック群、ユニタリ群、直交群の特定のクラス) に分類されましたが、3 つの非常に大きな新しい群も発見しました。これらの群は通常、 Fi ₂₂、 Fi ₂₃、 Fi ₂₄と呼ばれます。これらの最初の 2 つは単純群であり、3 番目には指数2 の単純群 Fi ₂₄ ′が含まれます。

フィッシャー群の出発点はユニタリ群 PSU _{6 (2) であり、これは}9,196,830,720 = 2 ¹⁵ ⋅3 ⁶ ⋅5⋅7⋅11のフィッシャー群の系列における群 Fi ₂₁として考えることができる。実際には、新しい群のサブグループになるのは二重被覆 2.PSU _{6 (2) である。これは、3510 (= 2⋅3} ³ ⋅5⋅13)のグラフの 1 つの頂点の安定子である。これらの頂点は、グラフの 対称群 Fi ₂₂の共役 3 転置として識別される。

フィッシャー群は、大きなマシュー群との類推で名付けられています。 Fi ₂₂では、互いに可換な 3 転置の最大集合はサイズが 22 で、基本集合と呼ばれます。特定の基本集合のいずれとも可換でない、アナベーシックと呼ばれる 3 転置が 1024 個あります。他の 2464 個はいずれもヘキサディックと呼ばれ、6 つの基本集合と可換です。6 個の集合は S(3,6,22)シュタイナー系を形成し、その対称群は M _{22です。基本集合は、 Fi 22で部分群 2} ¹⁰ :M ₂₂に拡張される、位数 2 ¹⁰のアーベル群を生成します。

次のフィッシャー群は、2.Fi _{22 を31671 (= 3} ⁴ ⋅17⋅23) の頂点のグラフの 1 点安定点と見なし、これらの頂点を Fi ₂₃群の 3 転置として扱うことによって得られます。3 転置は 23 の基本セットに含まれ、そのうち 7 つは与えられた外部の 3 転置と可換です。

次に、 Fi _{23を 306936 (= 2} ³ ⋅3 ³ ⋅7 ² ⋅29) 頂点のグラフの 1 点安定子として扱い、グループ Fi ₂₄を作成します。 3 転置は 24 の基本セットに含まれ、そのうち 8 つは与えられた外部 3 転置と可換です。 グループ Fi ₂₄は単純ではありませんが、その導出部分群はインデックス 2 を持ち、散在単純グループです。

これらの群には統一的に受け入れられている表記法はありません。著者によっては Fi の代わりに F を使用しています (たとえば F _{22 )。フィッシャーの表記法は M(22)、M(23)、M(24)′ で、これらが 3 つの最大の}マシュー群M ₂₂、M ₂₃ 、 M ₂₄と密接な関係にあることを強調しています 。

特に混乱を招く原因の 1 つは、 Fi ₂₄が単純なグループ Fi ₂₄ ′ を指すために使用される場合もあれば、完全な 3 転置グループ (サイズが 2 倍) を指すために使用される場合もあることです。

ジョン・H・コンウェイとサイモン・P・ノートンは、1979 年の論文で、怪物のような密造酒は怪物に限定されず、他の群でも同様の現象が見られる可能性があると示唆しました。その後、ラリッサ・クイーンらは、散在群の次元の単純な組み合わせから、多くのハウプトモジュラン (主モジュライ) の展開を構築できることを発見しました。

• アッシュバッハー、マイケル(1997)、3-転置群、ケンブリッジ数学論文集、第 124 巻、ケンブリッジ大学出版局、doi :10.1017/CBO9780511759413、ISBN 978-0-521-57196-8, MR  1423599、2016年3月4日にオリジナルからアーカイブ、 2010年12月6日に取得フィッシャーの定理の完全な証明が含まれています。
• フィッシャー、ベルント（1971）、「3-転置によって生成される有限群。I」、Inventiones Mathematicae、13（3）：232–246、doi：10.1007 / BF01404633、ISSN  0020-9910、MR  0294487これは、フィッシャーのグループ構築に関するプレプリントの最初の部分です。論文の残りの部分は未発表です (2010 年現在)。
• フィッシャー、ベルント (1976)、「3 転置によって生成される有限群」、プレプリント、ウォーリック大学数学研究所
• ウィルソン、ロバート A. (2009)、「有限単純群」、Graduate Texts in Mathematics 251、vol. 251、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、doi：10.1007/978-1-84800-988-2、ISBN 978-1-84800-987-5、Zbl  1203.20012
• Wilson, RA「有限群表現の ATLAS」
  https://web.archive.org/web/20171204142908/http://for.mat.bham.ac.uk/atlas/html/contents.html#spo