ライオンズグループ

群論として知られる現代代数学の分野において、ライオンズ群 Lyまたはライオンズ・シムズ群 LySは、散在する単純群であり、

   51,765,179,004,000,000

= 2 ⁸  · 3 ⁷  · 5 ⁶  · 7  · 11  · 31  · 37  · 67

≈ 5 × 10¹⁶ .

Lyは 26 個の散在群の 1 つであり、1972 年から 1973 年にかけてリチャード・ライオンズとチャールズ・シムズによって発見されました。ライオンズは 51765179004000000 を、ある反転の中心化が巡回群C ₂による次数 11 の交代群A ₁₁の非自明な中心拡大に同型である有限単純群の唯一の可能な順序として特徴付けました。シムズ (1973) は、置換群理論と機械計算を組み合わせて、そのような群の存在と同型までのその一意性を証明しました。

マクローリン散在群が発見されたとき、その反転の 1 つの中心化が交代群A ₈の完全二重被覆であることが注目された。これは、他の交代群A _nの二重被覆を単純群の反転の中心化として考えられることを示唆した。n ≤ 7 の場合はBrauer –Suzuki の定理によって排除され、 n = 8の場合はマクローリン群につながり、n = 9 の場合はZvonimir Jankoによって排除され、Lyons 自身はn = 10の場合は排除してn = 11の Lyons 群を発見し、 n ≥ 12の場合はJG ThompsonとRonald Solomonによって排除された。

シューア乗数と外部自己同型群は両方とも自明です。

37 と 67 は超特異素数ではないため、ライオンズ群はモンスター群の部分商にはなり得ません。したがって、ライオンズ群はパリアと呼ばれる 6 つの散在群の 1 つです。

マイヤー、ノイチュ、パーカー (1985) は、ライオンズ群が5 元体上の 111 次元のモジュラー表現を持つことを示しました。これは忠実な線形表現の最小次元であり、それを使った計算の最も簡単な方法の 1 つです。また、生成元と関係に関する複雑な表現もいくつかあり、たとえば Sims (1973) や Gebhardt (2000) によって示されました。

最も小さい忠実な順列表現は、安定子G ₂ (5) を持つ8835156点のランク5順列表現である。また、安定子3.McL:2を持つ9606125点のランク5順列表現もわずかに大きい。

ウィルソン（1985）は、 Lyの最大部分群の9つの共役類を次のように発見した。

• リチャード・ライオンズ(1972,5)「新しい有限単純群の証拠」、代数ジャーナル20:540–569 および 34:188–189。
• ゲブハルト、フォルカー( 2000)。 「ライオンズの散在単純群に関する 2 つの短いプレゼンテーション」。実験数学。9 (3): 333–8。doi :10.1080/10586458.2000.10504410。S2CID  8361971。
• マイヤー、ヴェルナー。ノイチュ、ヴォルフラム; Parker, Richard (1985)、「The minimum 5-representation of Lyons' sporadic group」、Mathematische Annalen、272 (1): 29–39、doi :10.1007/BF01455926、ISSN  0025-5831、MR  0794089、S2CID  120696430
• シムズ、チャールズ C. (1973)、「ライオンズ群の存在と一意性」、有限群 '72 (ゲインズビル会議議事録、フロリダ大学、ゲインズビル、フロリダ州、1972)、ノースホランド数学研究、第 7 巻、アムステルダム: ノースホランド、pp.  138– 141、MR  0354881
• ウィルソン、ロバート A. (1985)、「ライオンズ群の最大部分群」、ケンブリッジ哲学協会数学紀要、97 (3): 433– 436、doi :10.1017/S0305004100063003、ISSN  0305-0041、MR  0778677、S2CID  119577612

• MathWorld: ライオンズグループ
• 有限群表現のアトラス: ライオンズ群