フィッシャーグループ Fi23

群論として知られる現代代数学の分野において、フィッシャー群 Fi ₂₃は、散在する単純群であり、

4,089,470,473,293,004,800

= 2 ¹⁸ · 3 ¹³ · 5 ² · 7 · 11 · 13 · 17 · 23

≈ 4 × 10¹⁸。

歴史

Fi ₂₃は 26 個の散在群のうちの 1 つであり、3 転置群を調査しているときに Bernd Fischer (1971、1976)によって導入された3 つのフィッシャー群のうちの 1 つです。

シューア乗数と外部自己同型群は両方とも自明です。

表現

フィッシャー群 Fi ₂₃は、3転置に対応する31671頂点のグラフにランク3の作用を持ち、点安定子はフィッシャー群 Fi22の二重被覆である。これは、137632点に2番目のランク3の作用を持つ。

Fi _23は、フィッシャー群 Fi24の転置の中心化子です。 Fi _{24 を}モンスター群のサブグループとして実現すると、転置の完全な中心化子は、ベイビーモンスター群の二重被覆になります。その結果、 Fi _{23 は}ベイビーモンスターのサブグループであり、モンスター内の特定の S _{3グループの正規化子です。}

最も小さい忠実な複素表現は次元です。この群は 3 つの要素を持つ体上で次元 253 の既約表現を持ちます。 $782$

一般化された怪物密造酒

コンウェイとノートンは1979年の論文で、怪物のような密造酒は怪物に限らず、他の群でも同様の現象が見られるかもしれないと示唆した。その後、ラリッサ・クイーンらは、散在群の次元の単純な組み合わせから多くのハウプトモジュロンの展開を構築できることを発見した。Fi ₂₃の場合、関連するマッケイ・トンプソン級数は、定数項 a(0) = 42 ( OEIS : A030197 ) と設定できる。 $T_{3A}(\tau )$

{\begin{aligned}j_{3A}(\tau )&=T_{3A}(\tau )+42\\&=\left(\left({\tfrac {\eta (\tau )}{\eta (3\tau )}}\right)^{6}+3^{3}\left({\tfrac {\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{6}\right)^{2}\\&={\frac {1}{q}}+42+783q+8672q^{2}+65367q^{3}+371520q^{4}+\dots \end{aligned}}

η ( τ )はデデキントのイータ関数です。

最大サブグループ

Kleidman、Parker、Wilson (1989)は、 Fi ₂₃の最大部分群の14の共役類を次のように発見しました。

参考文献

アッシュバッハー、マイケル(1997)、3-転置群、ケンブリッジ数学論文集、第 124 巻、ケンブリッジ大学出版局、doi :10.1017/CBO9780511759413、ISBN 978-0-521-57196-8, MR 1423599、2016年3月4日にオリジナルからアーカイブ、2012年6月21日に取得フィッシャーの定理の完全な証明が含まれています。
フィッシャー、ベルント（1971）、「3-転置によって生成される有限群。I」、Inventiones Mathematicae、13（3）：232–246、doi：10.1007 / BF01404633、ISSN 0020-9910、MR 0294487これは、フィッシャーのグループ構築に関するプレプリントの最初の部分です。論文の残りの部分は未発表です (2010 年現在)。
フィッシャー、ベルント (1976)、「3 転置によって生成される有限群」、プレプリント、ウォーリック大学数学研究所
クライドマン、ピーター B.; パーカー、リチャード A.; ウィルソン、ロバート A. (1989)、「フィッシャー群 Fi₂₃ の最大部分群」、ロンドン数学会誌、第 2 シリーズ、39 (1): 89–101、doi :10.1112/jlms/s2-39.1.89、ISSN 0024-6107、MR 0989922
ウィルソン、ロバート A. (2009)、「有限単純群」、Graduate Texts in Mathematics 251、vol. 251、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、doi：10.1007/978-1-84800-988-2、ISBN 978-1-84800-987-5、Zbl 1203.20012
ウィルソン、RA 有限群表現の ATLAS。

外部リンク

MathWorld: フィッシャー群
有限群表現のアトラス: Fi23