ヤンコグループ J3

群論として知られる現代代数学の分野において、ヤンコ群 J ₃またはヒグマン・ヤンコ・マッケイ群 HJMは、次数の散在単純群である。

   2 ⁷  · 3 ⁵  · 5  · 17  · 19 = 50232960。

J _{3 は}26 個の散在群の 1 つであり、1969 年にZvonimir Jankoによって、反転の中心化として2 ¹⁺⁴ :A ₅を持つ 2 つの新しい単純群の 1 つとして予測されました (もう 1 つは Janko 群J ₂です)。J _{3 は}Graham HigmanとJohn McKay (1969)によって存在が示されました 。

1982年にRLグリースはJ _{3 が}モンスター群の部分商にはなり得ないことを示した。^{[1]したがって、これは}パリア と呼ばれる6つの散在群の1つである。

J _{3 は}、位数 2 の 外部自己同型群と位数 3 のシューア乗数を持ち、その三重被覆は4 つの要素を持つ有限体上の9 次元ユニタリ表現を持ちます。Weiss (1982) は、基礎となる幾何学を介してこれを構築しました。これは、9 つ​​の要素を持つ有限体上の 18 次元のモジュラー表現を持ちます。これは、18 次元の複素射影表現を持ちます。

J3は多くの異なる生成器によって構築できる。^[2] ATLASリストの2つは、有限体演算で行列乗算を実行する、9次の有限体上の18x18行列である。

${\displaystyle \left({\begin{matrix}0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&8&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&8&0&0&0\\3&7&4&8&4&8&1&5&5&1&2&0&8&6&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&8\\4&8&6&2&4&8&0&4&0&8&4&5&0&8&1&1&8&5\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&8&0&0\\\end{matrix}}\right)}$

そして

${\displaystyle \left({\begin{matrix}4&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\4&4&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&8&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&8&0\\2&7&4&5&7&4&8&5&6&7&2&2&8&8&0&0&5&0\\4&7&5&8&6&1&1&6&5&3&8&7&5&0&8&8&6&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0\\8&2&5&5&7&2&8&1&5&5&7&8&6&0&0&7&3&8\\\end{matrix}}\right)}$

自己同型群J _{3 :2 は、サブグループ PSL(2,16):4 から始めて、}シロー17 サブグループと同一視される 120 個の反転を付加することによって構成できます。これらの 120 個の反転はJ ₃ :2の外部要素であることに注意してください。次に、次の関係を定義します。

${\displaystyle \left({\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}}\sigma t_{(\nu ,\nu 7)}\right)^{5}=1}$

ここで はフロベニウス自己同型または位数4であり、は 、${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle t_{(\nu ,\nu 7)}}$

${\displaystyle \infty \rightarrow 0\rightarrow 1\rightarrow 7}$

カーティスはコンピュータを使って、この関係がJ ₃ :2を定義するのに十分であることを示した。^[3]

生成元a、b、c、dに関して、その自己同型群J ₃ :2は次のように 表される。${\displaystyle a^{17}=b^{8}=a^{b}a^{-2}=c^{2}=b^{c}b^{3}=(abc)^{4}=(ac)^{17}=d^{2}=[d,a]=[d,b]=(a^{3}b^{-3}cd)^{5}=1.}$

_{J 3}を（異なる）生成子 a、b、c、d で 表すと、${\displaystyle a^{19}=b^{9}=a^{b}a^{2}=c^{2}=d^{2}=(bc)^{2}=(bd)^{2}=(ac)^{3}=(ad)^{3}=(a^{2}ca^{-3}d)^{3}=1.}$

FinkelsteinとRudvalis (1974)は、 J3_の最大部分群の9つの共役類を次のように発見した。

• PSL(2,16):2、順序8160
• PSL(2,19)、順位3420
• PSL(2,19)、J ₃ :2の前のクラスと共役
• 2 ⁴ : (3 × A ₅ )、順序2880
• PSL(2,17)、順位2448
• (3 × A ₆ ):2 ₂、位数 2160 - 位数 3 の部分群の正規化子
• 3 ²⁺¹⁺² :8、順序 1944 - シロー 3 部分群の正規化子
• 2 ¹⁺⁴ :A ₅、1920年の命令 - 退化の中心化
• 2 ²⁺⁴ : (3 × S ₃ )、次数1152

• フィンケルスタイン、L.;ルドヴァリス、A . (1974)、「位数 50,232,960 のヤンコ単純群の最大部分群」、代数ジャーナル、30 (1–3): 122–143、doi : 10.1016/0021-8693(74)90196-3、ISSN  0021-8693、MR  0354846
• RL Griess , Jr., The Friendly Giant , Inventiones Mathematicae 69 (1982), 1-102. p. 93: J ₃がパーリアであることの証明。
• Higman, Graham ; McKay, John (1969)、「50,232,960 次数の Janko の単純群について」、Bull. London Math. Soc.、1 : 89–94、訂正 p. 219、doi :10.1112/blms/1.1.89、MR  0246955
• Z. Janko,有限順序のいくつかの新しい有限単純群、1969 Symposia Mathematica (INDAM、ローマ、1967/68)、第 1 巻、pp. 25–64 Academic Press、ロンドン、および有限群の理論(Brauer と Sah 編)、p. 63-64、Benjamin、1969。MR 0244371
• ワイス、リチャード (1982)。 「Janko のグループ J ₃の幾何学的構造」。数学的ツァイシュリフト。179 (179): 91-95。土井：10.1007/BF01173917。

• MathWorld: ヤンコ群
• 有限群表現のアトラス: J3 バージョン 2
• 有限群表現のアトラス: J3 バージョン 3