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群論として知られる現代代数学の分野において、ヘルド群は 散在的な単純群であり、

   4,030,387,200 = 2 ¹⁰  · 3 ³  · 5 ²  · 7 ³  · 17

≈ 4 × 10⁹ .

これは26 個の散在群のうちの 1 つであり、ディーター・ヘルド (1969a, 1969b) によって、その中心化が特殊群2 ^1+6の線型群L ₃ (2)による拡大である反転を含む単純群の研究中に発見されました。この線型群は、マシュー群 M ₂₄と同じ反転中心化です。2 つ目のそのような群は線型群 L ₅ (2) です。ヘルド群は 3 つ目の可能性であり、その構築はジョン・マッケイとグラハム・ヒグマンによって完成されました。これらの群のすべてにおいて、拡大は分割されます。

外部自己同型群の位数は 2 であり、シューア乗数は自明です。

最も小さい忠実な複素表現は次元 51 です。このような表現は互いに双対となる 2 つあります。

これはモンスター群 の位数 7 の要素を集中化します。その結果、素数 7 は群の理論において特別な役割を果たします。たとえば、任意の体上のヘルド群の最小表現は 7 個の要素を持つ体上の 50 次元表現であり、 7 個の要素を持つ体上の頂点作用素代数に対して自然に作用します。

_{最小の順列表現は、点安定子 Sp 4} (4):2を持つ 2058 点上のランク 5 の作用である。この表現に関連付けられたグラフはランク 5 で有向である。外部自己同型により、エッジの方向が反転され、ランクが 4 に減少する。

He はモンスター群のフロベニウス群7:3の正規化群であるため、7 サイクルだけでなく、いくつかの 3 サイクルとも可換です。これらの 3 サイクルはそれぞれフィッシャー群 Fi _{24によって正規化されるため、He:2 は導出部分群 Fi 24} 'の部分群です(非単純群 Fi _{24には He:2 の 2 つの共役類があり、これらは外部自己同型によって融合されます)。前述のように、He の最小の置換表現には 2058 個の点があり、Fi 24} '内で実現されると、2058 個の転置の軌道が存在します。

コンウェイとノートンは1979年の論文で、怪物的な密造酒は怪物に限らず、他の群でも同様の現象が見られるかもしれないと示唆した。その後、ラリッサ・クイーンらは、散在群の次元の単純な組み合わせから多くのハウプトモジュロンの展開を構築できることを発見した。He の場合、関連するマッケイ・トンプソン級数は、定数項 a(0) = 10 ( OEIS : A007264 ) と設定できる。 ${\displaystyle T_{7A}(\tau )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}j_{7A}(\tau )&=T_{7A}(\tau )+10\\&=\left(\left({\tfrac {\eta (\tau )}{\eta (7\tau )}}\right)^{2}+7\left({\tfrac {\eta (7\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{2}\right)^{2}\\&={\frac {1}{q}}+10+51q+204q^{2}+681q^{3}+1956q^{4}+5135q^{5}+\dots \end{aligned}}}$

η ( τ )はデデキントのイータ関数です。

これは生成子aとbと関係 式によって定義できる。

${\displaystyle a^{2}=b^{7}=(ab)^{17}=[a,b]^{6}=\left[a,b^{3}\right]^{5}=\left[a,babab^{-1}abab\right]=(ab)^{4}ab^{2}ab^{-3}ababab^{-1}ab^{3}ab^{-2}ab^{2}=1.}$

バトラー（1981）は、 Heの最大部分群の11個の共役類を次のように発見した。

• バトラー、グレゴリー（1981）、「ヘルドの散在単純群の最大部分群」、代数ジャーナル、69（1）：67–81、doi：10.1016/0021-8693（81）90127-7、ISSN  0021-8693、MR  0613857
• Held, D. (1969a)、「 M ₂₄に関連するいくつかの単純群」、Brauer, Richard、Shah, Chih-Han (編)、有限群の理論: シンポジウム、WA Benjamin
• ヘルド、ディーター（1969b）、「 M ₂₄に関連する単純群」、代数ジャーナル、13（2）：253–296、doi：10.1016/0021-8693（69）90074-X、MR  0249500
• Ryba, AJE (1988)、「ヘルド群の 7 モジュラー特性の計算」、代数ジャーナル、117 (1): 240–255、doi :10.1016/0021-8693(88)90252-9、MR  0955602

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