マシューグループM12

群論として知られる現代代数学の分野において、マシュー群 M ₁₂は、順序が散在する単純群である。

   12 ・11 ・10 ・9 ・8＝2^・6 ・3・³ ・5 ・11＝95040。

M ₁₂は 26 個の散在群の 1 つで、Mathieu  (1861、1873) によって導入されました。これは12 個のオブジェクト上の5 推移的な 置換群です。Burgoyne と Fong (1968) は、M ₁₂のシューア乗数の順序が 2 であることを示しました(Burgoyne と Fong 1966) の誤りを訂正し、シューア乗数の順序が 1 であると誤って主張しました)。

二重被覆は、Coxeter (1958) によって以前に暗黙的に発見されており、M _{12 は3 つの要素を持つ}有限体上の 6 次元の射影線型群のサブグループであることを示しました。

外部自己同型群は位数 2 であり、完全自己同型群 M ₁₂ .2は、 24 点の相補的 12 元群の安定子としてM _{24に含まれ、M 12}の外部自己同型は2 つの 12 元群を交換します。

_{フロベニウス（1904）はM12}の複素数特性表を計算した。

M _{12 は}12 点上の厳密に 5 推移的な置換表現を持ち、その点安定子はマシュー群 M ₁₁である。12 点を 11 元の体上の射影直線と同一視すると、 M _{12は PSL 2} (11) の置換と置換 (2,10)(3,4)(5,9)(6,7)の組み合わせによって生成される。この置換表現は、132 個の特殊六元群のシュタイナー系S(5,6,12) を保存する。このシステムでは、各五元群は正確に 1 つの特殊六元群に含まれ、六元群は拡張三元ゴレイ符号の重み 6 の符号語のサポートである。実際、 M _{12 は}12 点上の 2 つの非同値な作用を持ち、これらは外部自己同型によって交換される。これらは、対称群S ₆の6 点上の 2 つの非同値な作用に類似している。

二重被覆 2.M _{12は、最小重み 6 の位数 3 の体上の次元 6 長さ 12 のコードである拡張}三元ゴレイ コードの自己同型群です。特に、二重被覆は 3 元の体上の既約な 6 次元表現を持ちます。

二重被覆2.M12_{は任意の12×12}アダマール行列の自己同型群である。

M _{12 は、}モンスター群の位数 11 の要素を集中させ、その結果、モンスター頂点代数のテイトコホモロジーとして与えられる、11 個の要素を持つ体上の頂点代数に自然に作用します。

_{M 12} , 6の最大部分群の共役類は 11 個あり、これらは次のように自己同型対に出現します。

• M ₁₁、位数 7920、指数 12。最大部分群には 2 つのクラスがあり、外部自己同型によって交換されます。1 つはサイズ 1 と 11 の軌道で点を固定する部分群であり、もう 1 つは 12 点に対して推移的に作用します。
• S ₆ :2 = M ₁₀ .2、位数 1440、指数 66 の対称群 S _{6の外部自己同型群。外部自己同型によって交換される最大部分群のクラスが 2 つあります。1 つは}原始的かつ推移的で、6 のブロック 2 つで動作します。もう 1 つは、点のペアを固定し、サイズ 2 と 10 の軌道を持つ部分群です。
• PSL(2,11)、位数660、指数144、12点について二重推移的
• 3 ² :(2.S ₄ )、位数 432。外部自己同型によって交換される最大部分群のクラスが 2 つあります。1 つは 3 と 9 の軌道で作用し、もう 1 つは 3 の 4 つの集合に原始的です。

空間 C ₃ x C ₃上のアフィン群と同型です。

• S ₅ x 2、順序 240、2 点の 6 セットに二重に原始的

6重転置の中心化

• Q :S ₄、順序192、軌道4と8。

4重転置の中心化

• 4 ² :(2 x S ₃ )、位数192、4の3組に原始的
• A ₄ x S ₃、順序 72、二重原始的、3 点の 4 セット。

外部自己同型による元のサイクル形状とその共役は、次のように関連しています。2 つのサイクル形状の和はバランスが取れています。言い換えると、ある整数Nに対して、各nサイクルをN / nサイクルに変更しても不変です。

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• MathWorld: マシュー群
• 有限群表現のアトラス: M12