ルドヴァリスグループ

群論として知られる現代代数学の分野において、ルドヴァリス群 Ruは散在的な単純群であり、

   145,926,144,000 = 2 ¹⁴  · 3 ³  · 5 ³  · 7  · 13  · 29

≈ 1 × 10¹¹。

Ru は26 個の散在群の 1 つであり、Arunas Rudvalis  (1973、1984) によって発見され、John H. Conwayと David B. Wales (1973) によって構築されました。そのSchur 乗数は2 次であり、その外部自己同型群は自明です。

1982年にロバート・グリースは、Ruがモンスター群の部分商になることはできないことを示しました。^{[1]したがって、Ruは}パリア と呼ばれる6つの散在群の1つです。

ルドバリス群は、4060 点上の階数 3 の置換群として機能し、1 つの点安定群は、ティッツ群の自己同型群であるリー群 ² F ₄ (2)です。この表現は、強正則グラフ srg(4060, 2304, 1328, 1280) を意味します。つまり、各頂点には 2304 個の隣接頂点と 1755 個の非隣接頂点があり、任意の2 つの隣接する頂点には 1328 個の共通隣接頂点があり、任意の 2 つの非隣接頂点には 1280 個の共通隣接頂点があります (Griess 1998、p. 125)。

その二重被覆は、ガウス整数上の28次元格子に作用する。格子には4×4060個の極小ベクトルがある。極小ベクトルが1、i、-1、または-i倍のときに常に特定される場合、4060個の同値類はランク3の置換表現の点と同一視できる。この格子を主イデアルを法として縮小すると、

${\displaystyle (1+i)\ }$

は、2 つの元を持つ体上の 28 次元ベクトル空間への Rudvalis 群の作用を与えます。Duncan (2006) は、28 次元格子を使用して、二重被覆によって作用される頂点作用素代数を構築しました。 ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$

あるいは、グラフから始めて、二重被覆 2A _{4060で Ru を 2Ru に持ち上げることで、二重被覆を抽象的に定義することもできます。これは、}反転の共役類の 1 つが点を固定しないためです。このような反転は、グラフの 4060 点を 2030 組に分割します。これは、交代群A ₄₀₆₀の 1015 個の二重転置と見なすことができます。1015 は奇数なので、これらの反転は、二重被覆 2A ₄₀₆₀の 4 個の要素の順序に持ち上げられます。詳細については、「交代群と対称群の被覆群」を参照してください。

Parrott (1976) は、Rudvalis グループを中心反転の中心化として特徴付けました。Aschbacher & Smith (2004) は、Rudvalis グループを準群の 1 つとして特定する一環として、別の特徴付けを示しました。

ウィルソン（1984）は、 Ruの最大部分群の15の共役類を次のように発見した。

• アッシュバッハー、マイケル、スミス、スティーブン D. (2004)、「準群の分類。I 強準 K 群の構造」、数学調査およびモノグラフ、第 111 巻、プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学協会、ISBN 978-0-8218-3410-7、MR  2097623
• コンウェイ、ジョン H. ; ウェールズ、デビッド B. (1973)、「145926144000 の位数のルドヴァリス単純群の構築」、代数ジャーナル、27 (3): 538–548、doi : 10.1016/0021-8693(73)90063-X
• John F. Duncan (2008). 「Rudvalis の散発的グループのムーンシャイン」. arXiv : math/0609449v1 .
• Griess、Robert L. (1982)、「The Friendly Giant」(PDF)、Inventiones Mathematicae、69 (1): 1–102、Bibcode :1982InMat..69....1G、doi :10.1007/BF01389186、hdl : 2027.42/46608
• グリース、ロバート L. (1998)、12 の散在グループ、シュプリンガー フェルラーク
• パロット、デイビッド (1976)、「ルドヴァリス単純群の特徴付け」、ロンドン数学会紀要、第 3 シリーズ、32 (1): 25–51、doi :10.1112/plms/s3-32.1.25、ISSN  0024-6115、MR  0390043
• ルドヴァリス、アルナス(1973)、「2 ¹⁴ 3 ³ 5 ³ 7 13 29の順序の新しい単純群」、アメリカ数学会誌(20): A–95
• ルドヴァリス、アルナス (1984)、「位数 2¹⁴3³5³7.13.29. I のランク 3 単純群」、代数ジャーナル、86 (1): 181–218、doi :10.1016/0021-8693(84)90063-2、ISSN  0021-8693、MR  0727376
• Rudvalis, Arunas (1984)、「位数 2¹⁴3³5³7.13.29 のランク 3 単純群 G。II. G と Ĝ のキャラクタ」、代数ジャーナル、86 (1): 219–258、doi : 10.1016/0021-8693(84)90064-4、ISSN  0021-8693、MR  0727377
• ウィルソン、ロバート A. (1984)、「A. ルドヴァリスと J. ティッツの単純群の幾何学と最大部分群」、ロンドン数学会紀要、第 3 シリーズ、48 (3): 533–563、doi :10.1112/plms/s3-48.3.533、ISSN  0024-6115、MR  0735227

• MathWorld: ルドヴァリス グループ
• 有限群表現のアトラス: ルドヴァリス群