ヒグマン・シムズグループ

群論として知られる現代代数学の分野において、ヒグマン・シムズ群HSは位数 1の散在単純群である。

44,352,000 = 2 ⁹· 3 ²· 5 ³· 7 · 11

≈ 4 × 10⁷ .

シュール乗数は位数2であり、外側自己同型群は位数2であり、群2.HS.2は原田–ノートン群の対合中心化群として現れる。

歴史

HS は 26 個の散在群の 1 つで、Donald G. HigmanとCharles C. Sims ( 1968 )によって発見されました。彼らはMarshall Hallによる Hall –Janko 群J ₂に関するプレゼンテーションに出席していました。偶然にも、J _{2 は}100 点のHall–Janko グラフ上で置換群として機能し、 1 つの点の安定化群は長さ 36 と 63 の2 つの軌道を持つ部分群です。これに触発されて、彼らは 100 点上の他のランク 3 置換群を調べることにしました。彼らはすぐに、 22 点と 77 点に置換表現を持つMathieu 群M ₂₂を含む可能性のあるものに注目しました。(後者の表現は、M ₂₂シュタイナー系が77 個のブロックを持つために生じます。) これらの 2 つの表現を組み合わせることで、彼らは M ₂₂と同型の 1 点安定化群を持つ HS を発見しました。

HS は、 Higman–Sims グラフの自己同型群における指数2の単純部分群です。Higman–Sims グラフには 100 個のノードがあるため、Higman–Sims 群 HS は100 個の要素の集合の順列の推移群です。HS の最小忠実複素表現の次元は 22 です。^[¹^]

グラハム・ヒグマン（1969年）は、176点上の特定の「幾何学」に作用する二重推移的置換群として、この群を独自に発見した。

工事

GAP のドキュメント自体に、ヒグマン・シムズ群を構築するためのGAP コードの例として示されています。^{[ 2 ]}

Higman-Sims群は、次の2つの生成子で構成できます。^{[ 2 ]}

$(1,50,65)$ $(2,89,62,52,88,25)$ $(3,46,57,18,74,55)$ $(4,45,10,70,56,39)$ $(5,97,77)$ $(6,84,8,48,99,67)$ $(7,26,92,28,20,100)$ $(9,30,79,66,49,95)$ $(11,72)$ $(12,94,98,27,83,93)$ $(13,31,61,59,40,47)$ $(14,51,68,44,16,34)$ $(15,38)$ $(17,82,87)$ $(19,76,73,71,63,32)$ $(21,37,58,69,75,35)$ $(22,53,81)$ $(23,33,54)$ $(24,43,80,78,29,86)$ $(42,64)$ $(60,90,96)$ $(85,91)$

そして

$(1,65,44,13,34,57)$ $(2,10,39,54,42,84)$ $(3,15,69,63,37,11)$ $(5,21,79)$ $(6,89,49,64,46,80)$ $(7,70,93,29,8,38)$ $(9,81,17,23,77,59)$ $(12,68,66,75,96,82)$ $(14,18,95,43,76,32)$ $(16,33,99,26,92,48)$ $(19,50)$ $(20,97,83)$ $(22,88,85,53,24,56)$ $(25,62,67)$ $(27,98)$ $(28,55)$ $(30,58,71,86,94,90)$ $(31,87,52,78,100,60)$ $(35,61,51)$ $(36,73,72)$ $(40,74)$ $(41,45,47)$

コンウェイグループとの関係

コンウェイ（1968）は、ヒグマン・シムズ群をコンウェイ群Co _{0の部分群として特定した。Co}₀では、HS は2-3-3 三角形の点ごとの安定化群として現れる。この三角形の辺（頂点の差）はタイプ 2 および 3 のベクトルである。したがって、HS はコンウェイ群 Co ₀、Co ₂、および Co ₃のそれぞれの部分群である。

ウィルソン（2009）（p. 208）は、群HSが適切に定義されていることを示している。リーチ格子において、タイプ3の点vがCo ₃のインスタンスによって固定されていると仮定する。内積v · w = 2となるようなタイプ2の点wの数を数える（したがってv - wはタイプ3である）。彼は、それらの数が11,178 = 2 ⋅ 3 ⁵⋅ 23であり、このCo _{3がこれらの}wに対して推移的であることを示している。

$| HS | = | コ 3 | / 11,178 = 44,352,000。$

実際、 $| HS | = 100 | M 22 |$ _{であり、HS にはマチュー群 M 22}の置換行列表現が含まれる例があります。

_{Co 0}の HS のインスタンスがタイプ 3 の特定の点を固定する場合、この点は、HS のコピーが 176 と 100 の軌道で置換する 276 個のタイプ 2-2-3 の三角形の中に存在します。この事実は、グラハム・ヒグマンの構成とヒグマン・シムズグラフにつながります。HS は176 上では二重推移的であり、 100 上ではランク 3 です。

2-3-3の三角形は、HSによって点ごとに固定された2次元部分空間を定義する。したがって、HSの標準的な表現は22次元のものに縮小できる。

ヒグマン・シムズグラフ

ウィルソン（2009）（p. 210）は、最後の22個の座標におけるM ₂₂の表現によって置換された、リーチ格子内のヒグマン・シムズグラフの例を示している。

形状 (1, 1, −3, 1 ²¹ )の 22 点
形状の77ポイント (2, 2, 2 ⁶ , 0 ¹⁶ )
100ポイント目（4, 4, 0 ²²）

隣接点間の差はタイプ3であり、非隣接点間の差はタイプ2である。

ここで、HS は頂点x = (5, 1 ²³ )、y = (1, 5, 1 ²² )、zを原点とする 2-3-3 三角形を固定します。xとyはタイプ 3 ですが、x - y = (4, -4, 0 ²² )はタイプ 2 です。グラフのどの頂点も、x、y、zとはタイプ 2 のベクトル分だけ異なります。

2種類の対合

_{部分群 M 22}における対合は、8組の座標を転置します。Co ₀における置換行列として、トレースは 8 です。この対合は、ヒグマン・シムズグラフの 100 個の頂点のうち 80 個を移動することが示せます。転置された頂点のペアは、グラフの辺ではありません。

トレース 0 の別のクラスの対合があり、これは 100 個の頂点すべてを移動します。^{[ 3 ]}交代群 A ₁₀₀の順列として、奇数 (25) 個の二重転置の積であるこれらの対合は、二重被覆2.A _{100の位数 4 の要素に持ち上げられます。したがって、HS は、部分群 M}₂₂の二重被覆とは関係のない二重被覆 2.HS を持ちます。

最大サブグループ

Magliveras (1971) は、 HS の最大部分群の 12 個の共役類を次のように発見しました。

活用クラス

HS の標準的な 24 次元表現における行列のトレースが示されています。^{[ 4 ]} 2 つの置換表現がリストされています。1 つは Higman–Sims グラフの 100 個の頂点、もう 1 つは Graham Higman の幾何学の 176 個の点です。^{[ 5 ]}

一般化された怪物密造酒

コンウェイとノートンは1979年の論文で、怪物的な密造酒現象は怪物群に限らず、他の群でも同様の現象が見られる可能性があると示唆した。その後、ラリッサ・クイーンらは、散在群の次元の単純な組み合わせから多くの主モジュールの展開を構築できることを発見した。HSの場合、マッケイ・トンプソン級数は $T_{10A}(\tau )$ ここで、a(0) = 4 ( OEIS : A058097 )と設定できます。

{\begin{aligned}j_{10A}(\tau )&=T_{10A}(\tau )+4\\&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )\;\eta (5\tau )}{\eta (2\tau )\;\eta (10\tau )}}\right)^{2}+2^{2}\left({\frac {\eta (\tau )\;\eta (10\tau )}{\eta (\tau )\;\eta (5\tau )}}\right)^{2}\right)^{2}\\&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )\;\eta (2\タウ )}{\eta (5\タウ )\;\eta (10\タウ)}}\right)+5\left({\frac {\eta (5\tau )\;\eta (10\tau )}{\eta (\tau )\;\eta (2\tau )}}\right)\right)^{2}-4\\&={\frac {1}{q}}+4+22q+56q^{2}+177q^{3}+352q^{4}+870q^{5}+1584q^{6}+\cdots \end{aligned}}

参考文献

↑ヤンセン（2009）、123ページ
1 2 「GAP 4 における HS と Co3 の構築」。
↑ウィルソン（2009）、p.213
↑コンウェイら（1985）
↑ 「ATLAS: Higman–SimsグループHS」。

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外部リンク

MathWorld: ヒグマン-シムズ
有限群表現のアトラス：ヒグマン・シムズ群

[1] ヤンセン（2009）、123ページ

[gapdoc-2] 1 2 「GAP 4 における HS と Co3 の構築」。

[3] ウィルソン（2009）、p.213

[4] コンウェイら（1985）

[5] 「ATLAS: Higman–SimsグループHS」。

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歴史

工事